Campo de vector conservador
En cálculo vectorial , un campo vectorial conservador es un campo vectorial que es el gradiente de alguna función . [1] Los campos vectoriales conservadores tienen la propiedad de que la integral de línea es independiente de la ruta; la elección de cualquier camino entre dos puntos no cambia el valor de la integral de línea . La independencia del camino de la integral de línea es equivalente a que el campo vectorial sea conservador. Un campo vectorial conservador también es irrotante ; en tres dimensiones, esto significa que tiene un rizo que se desvanece . Un campo de vector irrotacional es necesariamente conservador siempre que el dominio seasimplemente conectado .
Los campos vectoriales conservadores aparecen de forma natural en la mecánica : son campos vectoriales que representan fuerzas de sistemas físicos en los que se conserva la energía . [2] Para un sistema conservador, el trabajo realizado al moverse a lo largo de una ruta en el espacio de configuración depende solo de los puntos finales de la ruta, por lo que es posible definir una energía potencial que es independiente de la ruta real tomada.
En un espacio bidimensional y tridimensional, existe una ambigüedad al tomar una integral entre dos puntos, ya que hay infinitas rutas entre los dos puntos; aparte de la línea recta formada entre los dos puntos, se podría elegir una ruta curva de mayor longitud como se muestra en la figura. Por tanto, en general, el valor de la integral depende del camino tomado. Sin embargo, en el caso especial de un campo vectorial conservador, el valor de la integral es independiente de la ruta tomada, que puede considerarse como una cancelación a gran escala de todos los elementos.que no tienen un componente a lo largo de la línea recta entre los dos puntos. Para visualizar esto, imagine a dos personas trepando por un acantilado; uno decide escalar el acantilado subiendo verticalmente, y el segundo decide caminar por un camino sinuoso que es más largo que la altura del acantilado, pero solo en un pequeño ángulo con la horizontal. Aunque los dos excursionistas han tomado diferentes rutas para llegar a la cima del acantilado, en la cima, ambos habrán ganado la misma cantidad de energía potencial gravitacional. Esto se debe a que un campo gravitacional es conservador. Como ejemplo de un campo no conservador, imagine empujar una caja de un extremo a otro de una habitación. Empujar la caja en línea recta a través de la habitación requiere notablemente menos trabajo contra la fricción que a lo largo de un camino curvo que cubre una distancia mayor.
La impresión litográfica de MC Escher Ascending and Descending ilustra un campo vectorial no conservador, imposiblemente hecho para parecer el gradiente de la altura variable sobre el suelo a medida que uno se mueve a lo largo de la escalera. Es rotacional en el sentido de que uno puede seguir subiendo o bajando mientras da vueltas en círculos. No es conservador en el sentido de que uno puede regresar al punto de partida mientras asciende más de uno desciende o viceversa. En una escalera real, la altura sobre el suelo es un campo de potencial escalar: si se regresa al mismo lugar, se sube exactamente tanto como se baja. Su gradiente sería un campo vectorial conservador y es irrotacional. La situación representada en el cuadro es imposible.
