Modelo Ising de celosía cuadrada

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En mecánica estadística , el modelo de Ising de celosía cuadrada bidimensional es un modelo de celosía simple de espines magnéticos en interacción . El modelo se destaca por tener interacciones no triviales, pero por tener una solución analítica . El modelo fue resuelto por Lars Onsager para el caso especial de que el campo magnético externo H = 0. ( Onsager (1944) ) Aún no se ha encontrado una solución analítica para el caso general de .${\displaystyle H\neq 0}$

Definición de la función de partición

Considere un modelo de Ising 2D en una red cuadrada con N sitios y condiciones de contorno periódicas en las direcciones horizontal y vertical, lo que reduce efectivamente la topología del modelo a un toro . Generalmente, el horizontal acoplado al vertical . Con y temperatura absoluta y la constante de Boltzmann , la función de partición${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle J\neq }$${\displaystyle J^{*}}$${\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Z_{N}(K\equiv \beta J,L\equiv \beta J^{*})=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{\langle ij\rangle _{H}}\sigma _{i}\sigma _{j}+L\sum _{\langle ij\rangle _{V}}\sigma _{i}\sigma _{j}\right).}$

Temperatura crítica

La temperatura crítica se puede obtener de la relación de dualidad Kramers-Wannier . Denotando la energía libre por sitio como , uno tiene:${\displaystyle T_{c}}$${\displaystyle F(K,L)}$

${\displaystyle \beta F\left(K^{*},L^{*}\right)=\beta F\left(K,L\right)+{\frac {1}{2}}\log \left[\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)\right]}$

donde

${\displaystyle \sinh \left(2K^{*}\right)\sinh \left(2L\right)=1}$

${\displaystyle \sinh \left(2L^{*}\right)\sinh \left(2K\right)=1}$

Suponiendo que solo hay una línea crítica en el plano (K, L), la relación de dualidad implica que está dada por:

${\displaystyle \sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)=1}$

Para el caso isotrópico , se encuentra la famosa relación para la temperatura crítica${\displaystyle J=J^{*}}$${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle {\frac {kT_{c}}{J}}={\frac {2}{\ln(1+{\sqrt {2}})}}\approx 2.26918531421}$

Celosía doble

Considere una configuración de giros en la celosía cuadrada . Deje que r y s denotan el número de vecinos a diferencia de en las direcciones vertical y horizontal respectivamente. Entonces el sumando correspondiente a viene dado por${\displaystyle \{\sigma \}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle \{\sigma \}}$

${\displaystyle e^{K(N-2s)+L(N-2r)}}$

Celosía doble

Construya una celosía doble como se muestra en el diagrama. Para cada configuración , se asocia un polígono a la celosía trazando una línea en el borde de la celosía dual si los giros separados por el borde son diferentes. Dado que al atravesar un vértice de los giros es necesario cambiar un número par de veces para que se llegue al punto de partida con la misma carga, cada vértice de la red dual se conecta a un número par de líneas en la configuración, definiendo un polígono. . ${\displaystyle \Lambda _{D}}$${\displaystyle \{\sigma \}}$${\displaystyle \Lambda }$

Configuración de giro en una celosía doble

Esto reduce la función de partición a

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}$

sumando todos los polígonos en la doble enrejado, donde r y s son el número de líneas horizontales y verticales en el polígono, con el factor de 2 que surge de la inversión de la configuración de centrifugado.

Expansión a baja temperatura

A bajas temperaturas, K, L se acercan al infinito, de modo que como , de modo que${\displaystyle T\rightarrow 0,\ \ e^{-K},e^{-L}\rightarrow 0}$

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2e^{N(K+L)}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{-2Lr-2Ks}}$

define una expansión a baja temperatura de .${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

Expansión a alta temperatura

Ya que uno tiene${\displaystyle \sigma \sigma '=\pm 1}$

${\displaystyle e^{K\sigma \sigma '}=\cosh K+\sinh K(\sigma \sigma ')=\cosh K(1+\tanh K(\sigma \sigma ')).}$

Por lo tanto

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{\{\sigma \}}\prod _{\langle ij\rangle _{H}}(1+v\sigma _{i}\sigma _{j})\prod _{\langle ij\rangle _{V}}(1+w\sigma _{i}\sigma _{j})}$

donde y . Dado que hay N bordes horizontales y verticales, hay un total de términos en la expansión. Cada término corresponde a una configuración de líneas de la celosía, al asociar una línea que conecta i y j si el término (o se elige en el producto. Sumando las configuraciones, usando${\displaystyle v=\tanh K}$${\displaystyle w=\tanh L}$${\displaystyle 2^{2N}}$${\displaystyle v\sigma _{i}\sigma _{j}}$${\displaystyle w\sigma _{i}\sigma _{j})}$

${\displaystyle \sum _{\sigma _{i}=\pm 1}\sigma _{i}^{n}={\begin{cases}0&{\mbox{for }}n{\mbox{ odd}}\\2&{\mbox{for }}n{\mbox{ even}}\end{cases}}}$

muestra que solo las configuraciones con un número par de líneas en cada vértice (polígonos) contribuirán a la función de partición, dando

${\displaystyle Z_{N}(K,L)=2^{N}(\cosh K\cosh L)^{N}\sum _{P\subset \Lambda }v^{r}w^{s}}$

donde la suma está sobre todos los polígonos en la celosía. Dado que tanh K , tanh L as , esto da como resultado la expansión a alta temperatura de .${\displaystyle \rightarrow 0}$${\displaystyle T\rightarrow \infty }$${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

Las dos expansiones se pueden relacionar utilizando la dualidad Kramers-Wannier .

Solución exacta

La energía libre por sitio en el límite se da de la siguiente manera. Defina el parámetro como${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {1}{\sinh \left(2K\right)\sinh \left(2L\right)}}}$

La energía libre de Helmholtz por sitio se puede expresar como${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\beta F={\frac {\log(2)}{2}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left[\cosh \left(2K\right)\cosh \left(2L\right)+{\frac {1}{k}}{\sqrt {1+k^{2}-2k\cos(2\theta )}}\right]d\theta }$

Para el caso isotrópico , a partir de la expresión anterior se encuentra la energía interna por sitio:${\displaystyle J=J^{*}}$

${\displaystyle U=-J\coth(2\beta J)\left[1+{\frac {2}{\pi }}(2\tanh ^{2}(2\beta J)-1)\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-4k(1+k)^{-2}\sin ^{2}(\theta )}}}d\theta \right]}$

y la magnetización espontánea es, por ,${\displaystyle T<T_{c}}$

${\displaystyle M=\left[1-\sinh ^{-4}(2\beta J)\right]^{1/8}}$

Referencias

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