Análisis isogeométrico

El análisis isogeométrico es un enfoque computacional que ofrece la posibilidad de integrar el análisis de elementos finitos (FEA) en herramientas convencionales de diseño CAD basadas en NURBS . Actualmente, es necesario convertir datos entre paquetes CAD y FEA para analizar nuevos diseños durante el desarrollo, una tarea difícil ya que los dos enfoques geométricos computacionales son diferentes. El análisis isogeométrico emplea geometría NURBS compleja (la base de la mayoría de los paquetes CAD) en la aplicación FEA directamente. Esto permite diseñar, probar y ajustar modelos de una sola vez, utilizando un conjunto de datos común. ^[1]

Los pioneros de esta técnica son Tom Hughes y su grupo en la Universidad de Texas en Austin . Una implementación de software libre de referencia de algunos métodos de análisis isogeométrico es GeoPDEs. ^{[2] [3]} Asimismo, se pueden encontrar otras implementaciones en línea. Por ejemplo, PetIGA ^[4] es un marco abierto para análisis isogeométrico de alto rendimiento basado en gran medida en PETSc . Además, MIGFEM es otro código IGA que se implementa en Matlab y admite Partition of Unity enriquecimiento IGA para fracturas 2D y 3D. Además, G + Smo ^[5] es una biblioteca C ++ abierta para análisis isogeométrico. En particular, FEAP ^[6]es un programa de análisis de elementos finitos que incluye una biblioteca de análisis isogeométrico FEAP IsoGeometric (Versión FEAP84 y Versión FEAP85). En ^[7] se ha documentado un recuento de los desarrollos que llevaron a IGA.

Ventajas de IGA con respecto a FEA

El análisis isogeométrico presenta dos ventajas principales con respecto al método de elementos finitos: ^{[1] [7] [8]}

• No hay error de aproximación geométrica, debido a que el dominio se representa exactamente ^[1]
• Los problemas de propagación de ondas , que surgen por ejemplo en electrofisiología cardíaca , acústica y elastodinámica , se describen mejor gracias a la reducción de los errores numéricos de dispersión y disipación. ^[8]

Mallas

En el marco de IGA, se definen las nociones de malla de control y malla física. ^[1]

Una malla de control se realiza mediante los denominados puntos de control y se obtiene mediante una interpolación lineal por partes de los mismos. Los puntos de control también juegan el papel de grados de libertad (DOF). ^[1]

La malla física se coloca directamente sobre la geometría y consta de parches y tramos de nudos. De acuerdo con el número de parches que se utilizan en una malla física específica, se emplea eficazmente un enfoque de parche único o de parches múltiples. Un parche se mapea a partir de un rectángulo de referencia en dos dimensiones y de un cuboide de referencia en tres dimensiones: puede verse como el dominio computacional completo o como una porción más pequeña del mismo. Cada parche se puede descomponer en tramos de nudos, que son puntos , líneas y superficies en 1D, 2D y 3D, respectivamente. Los nudos se insertan dentro de los tramos de los nudos y definen los elementos. Las funciones básicas se encuentran a través de los nudos, con el grado de${\displaystyle C^{p-m}}$${\displaystyle p}$polinomio y multiplicidad de un nudo específico, y entre cierto nudo y el siguiente o anterior. ^[1]${\displaystyle m}$${\displaystyle C^{\infty }}$

Vector de nudo

Un vector de nudo, normalmente indicado como , es un conjunto de puntos no descendentes. es el nudo, es el número de funciones, se refiere al orden de las funciones base. Un nudo divide el tramo del nudo en elementos. Un vector de nudos es uniforme o no uniforme según el hecho de que sus nudos, una vez que no se tiene en cuenta su multiplicidad, son equidistantes o no. Si el primer y el último nudo aparecen veces, se dice que el vector de nudo está abierto. ^{[1] [8]}${\displaystyle \Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}}$${\displaystyle \xi _{i}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p+1}$

Funciones básicas

Una vez que se proporciona una definición de vector de nudo, se pueden introducir varios tipos de funciones de base en este contexto, como B-splines , NURBS y T-splines . ^[1]

B-splines

Las B-splines se pueden derivar de forma recursiva a partir de una función constante por partes con : ^[1]${\displaystyle p=0}$

${\displaystyle N_{i,0}(\xi )={\mathcal {I}}_{[\xi _{i},\xi _{i+1})}(s)\quad 1\leq i\leq n}$

Usando el algoritmo de De Boor , es posible generar B-splines de orden arbitrario : ^[1]${\displaystyle p}$

${\displaystyle N_{i,p}(\xi )={\frac {\xi -\xi _{i}}{\xi _{i+p}-\xi _{i}}}N_{i,p-1}(\xi )+{\frac {\xi _{i+p+1}-\xi }{\xi _{i+p+1}-\xi _{i+1}}}N_{i+1,p-1}(\xi )\quad 1\leq i\leq n}$

válido tanto para vectores de nudos uniformes como no uniformes. Para que la fórmula anterior funcione correctamente, deje que la división de dos ceros sea ​​igual a cero, es decir .${\displaystyle {\dfrac {0}{0}}:=0}$

Los B-splines que se generan de esta manera poseen propiedades tanto de partición de unidad como de positividad, es decir: ^[1]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(\xi )=1\quad \forall \xi }$

${\displaystyle N_{i,p}(\xi )\geq 0\quad \forall \xi }$

Para calcular las derivadas o el orden de los B-splines de grado , se puede emplear otra fórmula recursiva: ^[1]${\displaystyle k}$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{d^{k}\xi }}N_{i,p}(\xi )={\frac {p!}{(p-k)!}}\sum _{j=0}^{k}\alpha _{k,j}N_{i+j,p-k}(\xi )}$

dónde:

${\displaystyle \alpha _{0,0}=1}$

${\displaystyle \alpha _{k,0}={\frac {\alpha _{k-1,0}}{\xi _{i+p-k+1}-\xi _{i}}},}$

${\displaystyle \alpha _{k,j}={\frac {\alpha _{k-1,j}-\alpha _{k-1,j-1}}{\xi _{i+p+j-k+1}-\xi _{i+j}}}\quad j=1,...,k-1,}$

${\displaystyle \alpha _{k,k}={\frac {-\alpha _{k-1,j-1}}{\xi _{i+p+1}-\xi _{i+k}}}.}$

siempre que el denominador de un coeficiente es cero, el coeficiente completo también se fuerza a ser cero.${\displaystyle \alpha _{j,j}}$

Una curva B-spline se puede escribir de la siguiente manera: ^[8]

${\displaystyle {\textbf {C}}(\xi )=\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(\xi ){\textbf {B}}_{i}}$

donde es el número de funciones base , y es el punto de control, con dimensión del espacio en el que está inmersa la curva.${\displaystyle n}$${\displaystyle N_{i,p}}$${\displaystyle {\textbf {B}}_{i}\in \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle d}$

Se puede obtener fácilmente una extensión del caso bidimensional a partir de las curvas B-splines. ^[8] En particular, las superficies B-spline se introducen como: ^[8]

${\displaystyle {\textbf {S}}(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}N_{i,p}(\xi )M_{j,q}(\eta ){\textbf {B}}_{i,j}}$

donde y es el número de funciones de base y definido en dos vectores diferentes de nudos , , representa ahora una matriz de puntos de control (también llamada red de control).${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle N_{i,p}}$${\displaystyle M_{j,q}}$${\displaystyle \Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{\eta _{1},\eta _{2},...,\eta _{m+q+1}\}}$${\displaystyle {\textbf {B}}_{i,j}}$

Finalmente, los sólidos B-splines, que necesitan tres conjuntos de funciones base B-splines y un tensor de puntos de control, se pueden definir como: ^[8]

${\displaystyle {\textbf {S}}(\xi ,\eta ,\zeta )=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{l}N_{i,p}(\xi )M_{j,q}(\eta )L_{k,r}(\zeta ){\textbf {B}}_{i,j,k}}$

NURBS

En IGA también se emplean funciones básicas para desarrollar el dominio computacional y no solo para representar la solución numérica. Por ello deben tener todas las propiedades que permitan representar la geometría de forma exacta. Las B-splines, debido a su estructura intrínseca, no pueden generar formas circulares adecuadas, por ejemplo. ^[1] Para eludir este problema, se introducen B-splines racionales no uniformes, también conocidos como NURBS, de la siguiente manera: ^[1]

${\displaystyle R_{i}^{p}(s)={\frac {N_{i,p}(s)\omega _{i}}{W(s)}}}$

donde es una B-spline unidimensional, se denomina función de ponderación y, finalmente, es el peso.${\displaystyle N_{i,p}}$${\displaystyle W(s)=\sum _{i=1}^{n}N_{i,p}(s)\omega _{i}}$${\displaystyle \omega _{i}}$${\displaystyle i^{th}}$

Siguiendo la idea desarrollada en la subsección sobre B-splines, las curvas NURBS se generan de la siguiente manera: ^[1]

${\displaystyle {\textbf {C}}(s)=\sum _{i=1}^{n}R_{i}^{p}(s){\textbf {B}}_{i}}$

con vector de puntos de control.${\displaystyle {\textbf {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i^{th}}$

La extensión de las funciones de base NURBS a variedades de dimensiones superiores (por ejemplo, 2 y 3) viene dada por: ^[1]

${\displaystyle R_{i,j}^{p,q}(s,t)={\frac {N_{i,p}(s)M_{j,q}(t)\omega _{i,j}}{\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{m}N_{a,p}(s)M_{b,q}(t)\omega _{a,b}}}}$

${\displaystyle R_{i,j,k}^{p,q,r}(s,t,w)={\frac {N_{i,p}(s)M_{j,q}(t)L_{k,r}(w)\omega _{i,j,k}}{\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{m}\sum _{c=1}^{l}N_{a,p}(s)M_{b,q}(t)L_{c,r}(w)\omega _{a,b,c}}}}$

refinamientos de hpk

Existen tres técnicas en IGA que permiten ampliar el espacio de funciones base sin tocar la geometría y su parametrización. ^[1]

El primero se conoce como inserción de nudos (o refinamiento h en el marco FEA), de donde se obtiene con la adición de más nudos, lo que implica un incremento tanto del número de funciones base como de puntos de control. ^[1]${\displaystyle {\overline {\Xi }}=\{{\overline {\xi _{1}}}=\xi _{1},{\overline {\xi _{2}}},...,{\overline {\xi _{n+m+p+1}}}=\xi _{n+p+1}\}}$${\displaystyle \Xi =\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n+p+1}\}}$

El segundo se llama grado de elevación (o p-refinamiento en el contexto FEA), que permite aumentar el orden polinómico de las funciones base. ^[1]

Finalmente, el tercer método, conocido como refinamiento k (sin contraparte en FEA), se deriva de las dos técnicas anteriores, es decir, combina la elevación del orden con la inserción de un nudo único . ^[1]${\displaystyle \Xi }$

Referencias

1. Cottrell, J. Austin; Hughes, Thomas JR; Bazilevs, Yuri (octubre de 2009). Análisis isogeométrico: hacia la integración de CAD y FEA . John Wiley e hijos . ISBN 978-0-470-74873-2. Consultado el 22 de septiembre de 2009 .
2. "GeoPDEs: una herramienta de software gratuita para el análisis isogeométrico de PDE" . 2010 . Consultado el 7 de noviembre de 2010 .
3. de Falco, C .; A. Reali; R. Vázquez (2011). "GeoPDEs: una herramienta de investigación para el análisis isogeométrico de PDE". Adv. Eng. Softw . 42 (12): 1020–1034. doi : 10.1016 / j.advengsoft.2011.06.010 .
4. "PetIGA: un marco para el análisis isogeométrico de alto rendimiento" . 2012 . Consultado el 7 de agosto de 2012 .
5. "G + Smo: una biblioteca C ++ para análisis isogeométrico, desarrollada en RICAM, Linz" . 2017 . Consultado el 9 de julio de 2017 .
6. "FEAP: FEAP es un programa de análisis de elementos finitos de propósito general que está diseñado para investigación y uso educativo, desarrollado en la Universidad de California, Berkeley" . 2018 . Consultado el 21 de abril de 2018 .
7. Provatidis, Christopher G. (2019). Precursores del análisis isogeométrico . https://www.springer.com/gp/book/9783030038885 : Springer. págs. 1–25. ISBN 978-3-030-03888-5.
8. Pegolotti, Luca; Dedè, Luca; Quarteroni, Alfio (enero de 2019). "Análisis isogeométrico de la electrofisiología en el corazón humano: simulación numérica de las ecuaciones de dos dominios en las aurículas" (PDF) . Métodos Informáticos en Mecánica Aplicada e Ingeniería . 343 : 52–73. doi : 10.1016 / j.cma.2018.08.032 .

Enlaces externos

• GeoPDEs: una herramienta de software gratuita para el análisis isogeométrico basado en Octave
• MIG (X) FEM: un código Matlab gratuito para IGA (FEM y FEM extendido)
• PetIGA: un marco para el análisis isogeométrico de alto rendimiento basado en PETSc
• G + Smo (módulos de geometría más simulación): una biblioteca C ++ para análisis isogeométrico, desarrollada en RICAM, Linz
• FEAP: un programa de análisis de elementos finitos de propósito general que está diseñado para investigación y uso educativo, desarrollado en la Universidad de California, Berkeley
• Bembel: una biblioteca de elementos de frontera isogeométrica de código abierto para problemas de Laplace, Helmholtz y Maxwell escritos en C ++