En el análisis matemático , un dominio es cualquier subconjunto abierto conectado de un espacio vectorial de dimensión finita . Este es un concepto diferente al dominio de una función , aunque a menudo se usa para ese propósito, por ejemplo, en ecuaciones diferenciales parciales y espacios de Sobolev .
Se requieren diversos grados de suavidad de la frontera del dominio para diversas propiedades de las funciones definidas en el dominio de retención, tales como teoremas integrales ( teorema de Green , teorema de Stokes ), propiedades de espacios de Sobolev , y para definir las medidas en el límite y espacios de trazas (funciones generalizadas definidas en el límite). Los tipos de dominios comúnmente considerados son dominios con límite continuo , límite de Lipschitz , límite C 1 , etc.
Un dominio acotado es un dominio que es un conjunto acotado , mientras que un dominio exterior o externo es el interior del complemento de un dominio acotado.
En el análisis complejo , un dominio complejo (o simplemente dominio ) es cualquier subconjunto abierto conectado del plano complejo . Por ejemplo, todo el plano complejo es un dominio, al igual que el disco unitario abierto , el semiplano superior abierto , etc. A menudo, un dominio complejo sirve como dominio de definición para una función holomórfica . En el estudio de varias variables complejas , la definición de un dominio se amplía para incluir cualquier subconjunto abierto conectado de.
Notas históricas
Definición . Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet. [1]
- Constantin Carathéodory , ( Carathéodory 1918 , p. 222)
Según Hans Hahn , [2] el concepto de dominio como un conjunto conectado abierto fue introducido por Constantin Carathéodory en su famoso libro ( Carathéodory 1918 ). Hahn también comenta que la palabra " Gebiet " (" Dominio ") se usó anteriormente en ocasiones como sinónimo de conjunto abierto . [3]
Sin embargo, el término "dominio" se utilizó ocasionalmente para identificar conceptos estrechamente relacionados pero ligeramente diferentes. Por ejemplo, en sus influyentes monografías sobre ecuaciones diferenciales parciales elípticas , Carlo Miranda usa el término "región" para identificar un conjunto conectado abierto, [4] [5] y reserva el término "dominio" para identificar un conectado internamente, [6] conjunto perfecto , cada punto del cual es un punto de acumulación de puntos interiores, [4] siguiendo a su antiguo maestro Mauro Picone : [7] según esta convención, si un conjunto A es una región entonces su cierre A es un dominio. [4]
Ver también
- Poliedro analítico
- Conjunto Caccioppoli
- Dominio de Lipschitz
- Región (análisis matemático)
Notas
- ^ Español: "Un conjunto abierto está conectado si no puede expresarse como la suma de dos conjuntos abiertos. Un conjunto abierto conectado se llama dominio" : en esta definición, Carathéodory considera obviamenteconjuntos disjuntos no vacíos .
- ^ Ver ( Hahn 1921 , p. 85 nota al pie 1).
- ↑ Hahn (1921 , p. 61, nota al pie 3), comentando la definición recién dada de conjunto abierto ("offene Menge"), afirma precisamente: - " Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung" Gebiet "en Gebrauch, die wir (§ 5, S. 85) anders verwenden werden. "(Traducción al inglés libre: -" Anteriormente, el término "Gebiet" se usaba ocasionalmente para tales conjuntos de puntos, y lo usaremos en (§ 5, p. 85) con un significado diferente " .
- ^ a b c Ver (Miranda 1955 , p. 1, 1970 , p. 2).
- ↑ Precisamente, en la primera edición de su monografía, Miranda (1955 , p. 1) utiliza el término italiano " campo ", que significa literalmente "campo" de una manera similar a su significado en agricultura : en la segunda edición del libro, Zane C. Motteler traduce apropiadamente este término como "región".
- ^ Un conjunto conectado internamente es un conjunto cuyo interior está conectado.
- ^ Ver ( Picone 1922 , p. 66) .
Referencias
- Carathéodory, Constantin (1918), Vorlesungen über reelle Funktionen (en alemán) (1.a ed.), Leipzig y Berlín: BG Teubner Verlag , págs. X + 704, JFM 46.0376.12 , MR 0225940(la revisión de MR se refiere a la tercera edición corregida).
- Hahn, Hans (1921), Theorie der reellen Funktionen. Erster Band (en alemán), Viena : Springer-Verlag , págs. VII + 600, doi : 10.1007 / 978-3-642-52624-4 , hdl : 2027 / pst.000003378601 , ISBN 978-3-642-52570-4, JFM 48.0261.09(disponible gratuitamente en Internet Archive ).
- Steven G. Krantz y Harold R. Parks (1999) La geometría de los dominios en el espacio , BirkhäuserISBN 0-8176-4097-5 .
- Miranda, Carlo (1955), Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete - Neue Folge (en italiano), Heft 2 (1a ed.), Berlín - Göttingen - Nueva York: Springer Verlag , págs. VIII +222, Sr. 0087853 , Zbl 0065.08503.
- Miranda, Carlo (1970) [1955], Ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete - 2 Folge, Band 2 (2ª ed. Revisada), Berlín - Heidelberg - Nueva York: Springer Verlag , págs. XII + 370, ISBN 978-3-540-04804-6, MR 0284700 , Zbl 0.198,14101, traducido del italiano por Zane C. Motteler.
- Picone, Mauro (1923), Lezioni di analisi infinitesimale (PDF) , Volumen 1 (en italiano), Parte Prima - La Derivazione, Catania : Circolo matematico di Catania , pp. Xii + 351, JFM 49.0172.07(Revisión de todo el volumen I) (disponible en la " Edizione Nazionale Mathematica Italiana ").