En geometría discreta , un conjunto isósceles es un conjunto de puntos con la propiedad de que cada tres de ellos forman un triángulo isósceles . Más precisamente, cada tres puntos debería determinar como máximo dos distancias; esto también permite triángulos isósceles degenerados formados por tres puntos igualmente espaciados en una línea.
El problema de encontrar el conjunto isósceles más grande en un espacio euclidiano de una dimensión dada fue planteado en 1946 por Paul Erdős . En su planteamiento del problema, Erdős observó que el mayor conjunto de este tipo en el plano euclidiano tiene seis puntos. [1] En su solución de 1947, Leroy Milton Kelly mostró con más fuerza que el conjunto isósceles plano de seis puntos único consiste en los vértices y el centro de un pentágono regular . En tres dimensiones, Kelly encontró un conjunto isósceles de ocho puntos, seis de los cuales son iguales; los dos puntos restantes se encuentran en una línea perpendicular al pentágono que pasa por su centro, a la misma distancia que los vértices del pentágono desde el centro. [2]Más tarde se demostró que este ejemplo tridimensional era óptimo y la única solución óptima. [3] [4]
En -espacio dimensional, un conjunto isósceles puede tener como máximo
puntos. [5] Esto es ajustado para y para pero no necesariamente para otras dimensiones. El número máximo de puntos en un-conjunto isósceles dimensional, para , se sabe que es [6]
pero estos números no se conocen por dimensiones más altas. [7]
El mismo problema también se puede considerar para otros espacios métricos . Por ejemplo, para los espacios de Hamming , se conocen límites superiores algo más pequeños que para los espacios euclidianos de la misma dimensión. [7] En un espacio ultramétrico , todo el espacio (y cualquiera de sus subconjuntos) es un conjunto isósceles. Por lo tanto, los espacios ultramétricos a veces se denominan espacios isósceles. Sin embargo, no todos los conjuntos isósceles son ultramétricos; por ejemplo, los triángulos isósceles euclidianos obtusos no son ultramétricos. [8]
Referencias
- ^ Grossman, Howard; Thebault, Víctor; Schell, ED; Scheffe, Henry; Erdős, Paul (agosto de 1946), "Problemas para solucionar: E731 – E735", The American Mathematical Monthly , 53 (7): 394, doi : 10.2307 / 2305860. Ver en particular el problema E735.
- ^ Erdős, Paul ; Kelly, LM (abril de 1947), "E735", The American Mathematical Monthly , 54 (4): 227, doi : 10.2307 / 2304710
- ^ Croft, HT (1962), "Configuraciones de 9 y 7 puntos en 3 espacios", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 12 : 400–424, doi : 10.1112 / plms / s3-12.1.400 , Señor 0155230
- ^ Kido, Hiroaki (2006), "Clasificación de conjuntos isósceles de ocho puntos en el espacio euclidiano tridimensional", Electronic Journal of Combinatorics , 27 (3): 329–341, doi : 10.1016 / j.ejc.2005.01.003 , MR 2206471
- ^ Blokhuis, A. (1984), Conjuntos de pocas distancias , CWI Tract, 7 , Amsterdam: Stichting Mathematisch Centrum, Centrum voor Wiskunde en Informatica, MR 0751955
- ^ Lisoněk, Petr (1997), "Nuevos conjuntos máximos de dos distancias", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 77 (2): 318–338, doi : 10.1006 / jcta.1997.2749 , MR 1429084
- ^ a b Ionin, Yury J. (2009), "Conjuntos isósceles" , Revista electrónica de combinatoria , 16 (1): Documento de investigación 141, 24, MR 2577309
- ^ Fiedler, Miroslav (1998), "Conjuntos ultramétricos en espacios puntuales euclidianos", Electronic Journal of Linear Algebra , 3 : 23-30, doi : 10.13001 / 1081-3810.1012 , MR 1615350