En estadística y teoría de la codificación , un espacio de Hamming suele ser el conjunto de todos cadenas binarias de longitud N . [1] [2] Se utiliza en la teoría de la codificación y transmisión de señales.
Más en general, un espacio de Hamming se puede definir a través de cualquier alfabeto (set) Q como el conjunto de palabras de una longitud fija N con cartas de Q . [3] [4] Si Q es un campo finito , a continuación, un espacio Hamming sobre Q es un N -dimensional espacio vectorial sobre Q . En el caso binario típico, el campo es entonces GF (2) (también denotado por Z 2 ). [3]
En la teoría de la codificación, si Q tiene q elementos, entonces cualquier subconjunto C (generalmente asumido de cardinalidad al menos dos) del espacio de Hamming N -dimensional sobre Q se llama un código q-ario de longitud N ; los elementos de C se denominan palabras de código . [3] [4] En el caso de que C sea un subespacio lineal de su espacio de Hamming, se le llama código lineal . [3] Un ejemplo típico de código lineal es el código Hamming . Los códigos definidos a través de un espacio de Hamming tienen necesariamente la misma longitud para cada palabra de código, por lo que se denominan códigos de bloque cuando es necesario distinguirlos de los códigos de longitud variable que se definen mediante factorización única en un monoide.
La distancia de Hamming otorga a un espacio de Hamming una métrica , que es esencial para definir las nociones básicas de la teoría de la codificación, como los códigos de detección y corrección de errores . [3]
También se han considerado espacios de Hamming sobre alfabetos que no son de campo, especialmente sobre anillos finitos (más notablemente sobre Z 4 ) dando lugar a módulos en lugar de espacios vectoriales y códigos lineales de anillo (identificados con submódulos ) en lugar de códigos lineales. La métrica típica utilizada en este caso es la distancia de Lee . Existe una isometría de Gray entre(es decir, GF (2 2 m )) con la distancia de Hamming y(también denotado como GR (4, m)) con la distancia de Lee. [5] [6] [7]
Referencias
- ^ Baylis, DJ (1997), Códigos de corrección de errores: una introducción matemática, Serie de matemáticas de Chapman Hall / CRC, 15 , CRC Press, p. 62, ISBN 9780412786907
- ^ Cohen, G .; Honkala, I .; Litsyn, S .; Lobstein, A. (1997), Covering Codes , Biblioteca de matemáticas de Holanda Septentrional, 54 , Elsevier, p. 1, ISBN 9780080530079
- ^ a b c d e Derek JS Robinson (2003). Una introducción al álgebra abstracta . Walter de Gruyter. págs. 254-255. ISBN 978-3-11-019816-4.
- ↑ a b Cohen et al., Covering Codes , pág. 15
- ^ Marcus Greferath (2009). "Una introducción a la teoría de la codificación lineal del anillo". En Massimiliano Sala; Teo Mora; Ludovic Perret; Shojiro Sakata; Carlo Traverso (eds.). Bases de Gröbner, codificación y criptografía . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-93806-4.
- ^ http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Kerdock_and_Preparata_codes
- ^ JH van Lint (1999). Introducción a la teoría de la codificación (3ª ed.). Saltador. Capítulo 8: Códigos superiores a ℤ 4 . ISBN 978-3-540-64133-9.