En matemáticas , una variedad isotrópica es una variedad en la que la geometría no depende de direcciones. Formalmente, decimos que una variedad riemanniana es isotrópico si para algún punto y vectores unitarios , hay una isometria de con y . Cada colector isotrópico conectado es homogéneo , es decir, para cualquier hay una isometria de con Esto se puede ver considerando una geodésica de a y tomando la isometría que fija y mapas a
Ejemplos de
Las formas espaciales simplemente conectadas (la n-esfera , el espacio hiperbólico y) son isotrópicos. En general, no es cierto que cualquier variedad de curvatura constante sea isótropa; por ejemplo, el toro planono es isotrópico. Esto se puede ver observando que cualquier isometría de que fija un punto debe elevarse a una isometría de que fija un punto y conserva ; así el grupo de isometrías de que arreglar es discreto. Además, se puede ver de la misma manera que ninguna superficie orientada con curvatura constante y característica de Euler negativa es isótropa.
Además, hay variedades isotrópicas que no tienen una curvatura constante, como el complejo espacio proyectivo () equipado con la métrica Fubini-Study. De hecho, todas las variedades de curvatura constante tienen su cubierta universal para ser una esfera o un espacio hiperbólico , o, pero está simplemente conectado pero no una esfera (por ), como puede verse, por ejemplo, en los cálculos del grupo de homotopía a partir de una secuencia larga y exacta de la fibración. .
Los espacios simétricos de rango uno, incluidos los espacios proyectivos, dan más ejemplos de variedades isotrópicas. , , , y , así como sus análogos hiperbólicos no compactos.
Una variedad puede ser homogénea pero no isotrópica, como el toro plano o con la métrica del producto.