En cálculo multivariable , una integral iterada es el resultado de aplicar integrales a una función de más de una variable (por ejemplo o ) de manera que cada una de las integrales considere algunas de las variables como constantes dadas . Por ejemplo, la función, Si se considera un parámetro dado , se puede integrar con respecto a, . El resultado es una función dey por tanto se puede considerar su integral. Si se hace esto, el resultado es la integral iterada
Es clave para la noción de integrales iteradas que esto sea diferente, en principio, de la integral múltiple
En general, aunque estos dos pueden ser diferentes, el teorema de Fubini establece que bajo condiciones específicas, son equivalentes.
La notación alternativa para integrales iteradas
también se utiliza.
En la notación que usa paréntesis, las integrales iteradas se calculan siguiendo el orden operacional indicado por los paréntesis comenzando desde la integral más interna hacia afuera. En la notación alternativa, escribir, el integrando más interno se calcula primero.
Ejemplos de
Un simple cálculo
Para la integral iterada
la integral
se calcula primero y luego el resultado se utiliza para calcular la integral con respecto ay .
Este ejemplo omite las constantes de integración. Después de la primera integración con respecto ax , sería necesario introducir rigurosamente una función "constante" de y . Es decir, si tuviéramos que diferenciar esta función con respecto ax , cualquier término que contenga solo y desaparecería, dejando el integrando original. De manera similar, para la segunda integral, introduciríamos una función "constante" de x , porque la hemos integrado con respecto a y . De esta forma, la integración indefinida no tiene mucho sentido para funciones de varias variables.
El orden es importante
El orden en el que se calculan las integrales es importante en las integrales iteradas, particularmente cuando el integrando no es continuo en el dominio de integración. Los ejemplos en los que los diferentes órdenes conducen a resultados diferentes suelen ser para funciones complicadas como el que sigue.
Deja una secuencia , tal que . Dejar ser funciones continuas que no se desvanecen en el intervalo y cero en otros lugares, de modo que para cada . Definir
En la suma anterior, en cada específico , como máximo un término es diferente de cero. Para esta función sucede que [1]
Referencias
- ^ Rudin, W., Análisis real y complejo , 1970