En análisis matemático y aplicaciones en geometría , matemáticas aplicadas , ingeniería , ciencias naturales y economía , una función de varias variables reales o función multivariante real es una función con más de un argumento , siendo todos los argumentos variables reales . Este concepto extiende la idea de una función de una variable real a varias variables. Las variables de "entrada" toman valores reales, mientras que la "salida", también llamada "valor de la función", puede ser real o compleja.. Sin embargo, el estudio de las funciones valoradas complejas puede reducirse fácilmente al estudio de las funciones valoradas reales, considerando las partes real e imaginaria de la función compleja; por lo tanto, a menos que se especifique explícitamente, en este artículo solo se considerarán las funciones de valor real.
El dominio de una función de n variables es el subconjunto de ℝ n para el que se define la función. Como es habitual, se supone que el dominio de una función de varias variables reales contiene un subconjunto abierto de ℝ n .
Definición general
Una función de valor real de n variables reales es una función que toma como entrada n números reales , comúnmente representados por las variables x 1 , x 2 ,…, x n , para producir otro número real, el valor de la función, comúnmente denotado f ( x 1 , x 2 ,…, x n ) . Para simplificar, en este artículo una función de valor real de varias variables reales se denominará simplemente función . Para evitar cualquier ambigüedad, se especificarán explícitamente los otros tipos de funciones que puedan ocurrir.
Algunas funciones se definen para todos los valores reales de las variables (se dice que están definidas en todas partes), pero algunas otras funciones se definen solo si el valor de la variable se toma en un subconjunto X de ℝ n , el dominio de la función, que siempre se supone que contiene un subconjunto abierto de ℝ n . En otras palabras, una función de valor real de n variables reales es una función
tal que su dominio X es un subconjunto de ℝ n que contiene un conjunto abierto.
Si un elemento de X es una n - tupla ( x 1 , x 2 ,…, x n ) (generalmente delimitado por paréntesis), la notación general para denotar funciones sería f (( x 1 , x 2 ,…, x n ) ) . El uso común, mucho más antiguo que la definición general de funciones entre conjuntos, es no usar paréntesis dobles y simplemente escribir f ( x 1 , x 2 ,…, x n ) .
También es común abreviar la n- tupla ( x 1 , x 2 ,…, x n ) usando una notación similar a la de los vectores , como negrita x , subrayado x , o superposición x → . Este artículo utilizará negrita.
Un ejemplo simple de una función en dos variables podría ser:
que es el volumen V de un cono con área de base A y altura h medida perpendicularmente desde la base. El dominio restringe todas las variables para que sean positivas ya que las longitudes y áreas deben ser positivas.
Para un ejemplo de una función en dos variables:
donde un y b son reales constantes no cero. Usando el sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales , donde el plano xy es el dominio ℝ 2 y el eje z es el codominio ℝ , se puede visualizar la imagen como un plano bidimensional, con una pendiente de a en la dirección x positiva y una pendiente de b en la dirección y positiva. La función está bien definida en todos los puntos ( x , y ) en ℝ 2 . El ejemplo anterior se puede ampliar fácilmente a dimensiones superiores:
para p constantes reales distintas de cero a 1 , a 2 ,…, a p , que describe un hiperplano p -dimensional .
La norma euclidiana :
es también una función de n variables que se definen en todas partes, mientras que
se define solo para x ≠ (0, 0,…, 0) .
Para una función de ejemplo no lineal en dos variables:
que toma todos los puntos en X , un disco de radio √ 8 "perforado" en el origen ( x , y ) = (0, 0) en el plano ℝ 2 , y devuelve un punto en ℝ . La función no incluye el origen ( x , y ) = (0, 0) , si lo hiciera, entonces f estaría mal definida en ese punto. Usando un sistema de coordenadas cartesianas 3d con el plano xy como dominio ℝ 2 , y el eje z como codominio ℝ , la imagen se puede visualizar como una superficie curva.
La función se puede evaluar en el punto ( x , y ) = (2, √ 3 ) en X :
Sin embargo, la función no se pudo evaluar en, digamos
ya que estos valores de x e y no satisfacen la regla del dominio.
Imagen
La imagen de una función f ( x 1 , x 2 ,…, x n ) es el conjunto de todos los valores de f cuando la n -tupla ( x 1 , x 2 ,…, x n ) se ejecuta en todo el dominio de f . Para una función de valor real continua (ver más abajo para una definición) que tiene un dominio conectado, la imagen es un intervalo o un valor único. En el último caso, la función es una función constante .
La preimagen de un número real c dado se llama conjunto de niveles . Es el conjunto de las soluciones de la ecuación f ( x 1 , x 2 ,…, x n ) = c .
Dominio
El dominio de una función de varias variables reales es un subconjunto de ℝ n que a veces, pero no siempre, se define explícitamente. De hecho, si se restringe el dominio X de una función f a un subconjunto Y ⊂ X , se obtiene formalmente una función diferente, la restricción de f a Y , que se denota. En la práctica, a menudo (pero no siempre) no es perjudicial identificar f y, y omitir el restrictor | Y .
A la inversa, a veces es posible ampliar de forma natural el dominio de una función dada, por ejemplo, por continuidad o por continuación analítica .
Además, muchas funciones están definidas de tal manera que es difícil especificar explícitamente su dominio. Por ejemplo, dada una función f , puede ser difícil especificar el dominio de la funciónSi f es un polinomio multivariado , (que tienecomo dominio), es incluso difícil probar si el dominio de g también es. Esto equivale a probar si un polinomio es siempre positivo y es objeto de un área de investigación activa (ver Polinomio positivo ).
Estructura algebraica
Las operaciones habituales de la aritmética sobre los reales pueden extenderse a funciones de valor real de varias variables reales de la siguiente manera:
- Para cada número real r , la función constante
- está definido en todas partes.
- Para cada número real r y cada función f , la función:
- tiene el mismo dominio que f (o se define en todas partes si r = 0 ).
- Si f y g son dos funciones de los respectivos dominios X e Y de manera que X ∩ Y contiene un subconjunto abierto de ℝ n , entonces
- y
- son funciones que tienen un dominio que contiene X ∩ Y .
De ello se deduce que las funciones de n variables que están definidas en todas partes y las funciones de n variables que están definidas en alguna vecindad de un punto dado forman álgebras conmutativas sobre los reales ( ℝ -álgebras). Este es un ejemplo prototípico de un espacio funcional .
Se puede definir de manera similar
que es una función sólo si el conjunto de puntos ( x 1 ,…, x n ) en el dominio de f tal que f ( x 1 ,…, x n ) ≠ 0 contiene un subconjunto abierto de ℝ n . Esta restricción implica que las dos álgebras anteriores no son campos .
Funciones univariables asociadas con una función multivariable
Uno puede obtener fácilmente una función en una variable real dando un valor constante a todas menos una de las variables. Por ejemplo, si ( a 1 , ..., un n ) es un punto de la interior del dominio de la función f , podemos fijar los valores de x 2 , ..., x n a un 2 , ..., un n respectivamente, para obtener una función univariable
cuyo dominio contiene un intervalo centrado en un 1 . Esta función también puede verse como la restricción de la función f a la línea definida por las ecuaciones x i = a i para i = 2,…, n .
Se pueden definir otras funciones univariables restringiendo f a cualquier línea que la atraviese ( a 1 ,…, a n ) . Estas son las funciones
donde c i son números reales que no son todos cero.
En la siguiente sección, mostraremos que, si la función multivariable es continua, también lo son todas estas funciones univariables, pero lo contrario no es necesariamente cierto.
Continuidad y límite
Hasta la segunda parte del siglo XIX, los matemáticos solo consideraban las funciones continuas . En ese momento, la noción de continuidad se elaboró para las funciones de una o varias variables reales mucho antes de la definición formal de un espacio topológico y un mapa continuo entre espacios topológicos. Como las funciones continuas de varias variables reales son ubicuas en matemáticas, vale la pena definir esta noción sin hacer referencia a la noción general de mapas continuos entre el espacio topológico.
Para definir la continuidad, es útil considerar la función de distancia de ℝ n , que es una función definida en todas partes de 2 n variables reales:
Una función f es continua en un punto a = ( a 1 ,…, a n ) que es interior a su dominio, si, para todo número real positivo ε , hay un número real positivo φ tal que | f ( x ) - f ( a ) | < ε para todo x tal que d ( x a ) < φ . En otras palabras, φ puede elegirse lo suficientemente pequeño para tener la imagen por f de la bola de radio φ centrada en a contenida en el intervalo de longitud 2 ε centrada en f ( a ) . Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.
Si una función es continua en f ( a ) , entonces todas las funciones univariadas, que se obtienen fijando todas las variables x i menos una en el valor a i , son continuas en f ( a ) . Lo contrario es falso; esto significa que todas estas funciones univariadas pueden ser continuas para una función que no es continua en f ( a ) . Por ejemplo, considere la función f tal que f (0, 0) = 0 , y de otra manera está definida por
Las funciones x ↦ f ( x , 0) y y ↦ f (0, y ) son constantes e iguales a cero y, por lo tanto, son continuas. La función f no es continua en (0, 0) , porque, si ε <1/2 e y = x 2 ≠ 0 , tenemos f ( x , y ) = 1/2 , incluso si | x | es muy pequeño. Aunque no es continua, esta función tiene la propiedad adicional de que todas las funciones univariadas obtenidas restringiéndola a una línea que pasa por (0, 0) también son continuas. De hecho, tenemos
para λ ≠ 0 .
El límite en un punto de una función de valor real de varias variables reales se define de la siguiente manera. [1] Sea a = ( a 1 , a 2 ,…, a n ) un punto en el cierre topológico del dominio X de la función f . La función f tiene un límite L cuando x tiende hacia a , denotado
si se cumple la siguiente condición: Para cada número real positivo ε > 0 , hay un número real positivo δ > 0 tal que
para todo x en el dominio tal que
Si el límite existe, es único. Si a está en el interior del dominio, el límite existe si y solo si la función es continua en a . En este caso, tenemos
Cuando a está en el límite del dominio de f , y si f tiene un límite en a , la última fórmula permite "extender por continuidad" el dominio de f a a .
Simetría
Una función simétrica es una función f que no cambia cuando se intercambian dos variables x i y x j :
donde i y j son cada uno de 1, 2,…, n . Por ejemplo:
es simétrico en x , y , z ya que intercambiar cualquier par de x , y , z deja f sin cambios, pero no es simétrico en todo x , y , z , t , ya que intercambiar t con x o y o z da una función diferente .
Composición de funciones
Supongamos que las funciones
o de forma más compacta ξ = ξ ( x ) , están todos definidos en un dominio X . Como la n -tupla x = ( x 1 , x 2 ,…, x n ) varía en X , un subconjunto de ℝ n , la m -tupla ξ = ( ξ 1 , ξ 2 ,…, ξ m ) varía en otra región Ξ un subconjunto de ℝ m . Para reafirmar esto:
Entonces, una función ζ de las funciones ξ ( x ) definidas en Ξ ,
es una composición de función definida en X , [2] en otros términos, el mapeo
Tenga en cuenta los números m y n no tienen que ser iguales.
Por ejemplo, la función
definido en todas partes en ℝ 2 se puede reescribir introduciendo
que también se define en todas partes en ℝ 3 para obtener
La composición de funciones se puede usar para simplificar funciones, lo cual es útil para realizar múltiples integrales y resolver ecuaciones diferenciales parciales .
Cálculo
El cálculo elemental es el cálculo de funciones de valor real de una variable real, y las ideas principales de diferenciación e integración de tales funciones pueden extenderse a funciones de más de una variable real; esta extensión es cálculo multivariable .
Derivadas parciales
Se pueden definir derivadas parciales con respecto a cada variable:
Las derivadas parciales en sí mismas son funciones, cada una de las cuales representa la tasa de cambio de f paralela a uno de los ejes x 1 , x 2 ,…, x n en todos los puntos del dominio (si las derivadas existen y son continuas, ver también abajo ). Una primera derivada es positiva si la función aumenta a lo largo de la dirección del eje relevante, negativa si disminuye y cero si no hay aumento o disminución. La evaluación de una derivada parcial en un punto particular del dominio da la tasa de cambio de la función en ese punto en la dirección paralela a un eje particular, un número real.
Para funciones de valor real de una variable real, y = f ( x ) , su derivada ordinaria dy / dx es geométricamente el gradiente de la recta tangente a la curva y = f ( x ) en todos los puntos del dominio. Las derivadas parciales extienden esta idea a hiperplanos tangentes a una curva.
Las derivadas parciales de segundo orden se pueden calcular para cada par de variables:
Geométricamente, están relacionados con la curvatura local de la imagen de la función en todos los puntos del dominio. En cualquier punto donde la función esté bien definida, la función podría aumentar a lo largo de algunos ejes y / o disminuir a lo largo de otros ejes, y / o no aumentar o disminuir en absoluto a lo largo de otros ejes.
Esto conduce a una variedad de posibles puntos estacionarios : máximos globales o locales , mínimos globales o locales y puntos de silla , el análogo multidimensional de los puntos de inflexión para funciones reales de una variable real. La matriz de Hesse es una matriz de todas las derivadas parciales de segundo orden, que se utilizan para investigar los puntos estacionarios de la función, importantes para la optimización matemática .
En general, las derivadas parciales de orden superior p tienen la forma:
donde p 1 , p 2 ,…, p n son cada uno números enteros entre 0 y p tales que p 1 + p 2 + ⋯ + p n = p , usando las definiciones de cero derivadas parciales como operadores de identidad :
El número de posibles derivadas parciales aumenta con p , aunque algunas derivadas parciales mixtas (aquellas con respecto a más de una variable) son superfluas, debido a la simetría de las derivadas parciales de segundo orden . Esto reduce el número de derivadas parciales a calcular para algunos p .
Diferenciabilidad multivariable
Una función f ( x ) es derivable en una vecindad de un punto a si hay una n -tupla de números dependientes de a en general, A ( a ) = ( A 1 ( a ), A 2 ( a ),…, A n ( a )) , de modo que: [3]
donde α → 0 como | x - a | → 0 . Esto significa que si f es derivable en un punto a , entonces f es continua en x = a , aunque lo contrario no es cierto: la continuidad en el dominio no implica diferenciabilidad en el dominio. Si f es diferenciable en un entonces existen las derivadas parciales de primer orden en una y:
para i = 1, 2,…, n , que se puede encontrar a partir de las definiciones de las derivadas parciales individuales, por lo que las derivadas parciales de f existen.
Suponiendo un análogo n- dimensional de un sistema de coordenadas cartesiano rectangular , estas derivadas parciales se pueden usar para formar un operador diferencial lineal vectorial , llamado gradiente (también conocido como " nabla " o " del ") en este sistema de coordenadas:
se utiliza ampliamente en cálculo vectorial , porque es útil para construir otros operadores diferenciales y formular teoremas de forma compacta en cálculo vectorial.
Luego, sustituyendo el gradiente ∇ f (evaluado en x = a ) con un ligero reordenamiento da:
donde · denota el producto escalar . Esta ecuación representa la mejor aproximación lineal de la función f en todos los puntos x dentro de una vecindad de a . Para cambios infinitesimales en f y x cuando x → a :
que se define como el diferencial total , o simplemente diferencial , de f , en a . Esta expresión corresponde al cambio infinitesimal total de f , sumando todos los cambios infinitesimales de f en todas las x i direcciones. Además, df se puede interpretar como un covector con vectores base como los infinitesimales dx i en cada dirección y derivadas parciales de f como componentes.
Geométricamente, ∇ f es perpendicular a los conjuntos de niveles de f , dado por f ( x ) = c, que para alguna constante c describe una hipersuperficie ( n - 1) dimensional. El diferencial de una constante es cero:
en el que d x es un cambio infinitesimal en x en la hipersuperficie f ( x ) = c , y dado que el producto escalar de ∇ f y d x es cero, esto significa que ∇ f es perpendicular a d x .
En sistemas de coordenadas curvilíneas arbitrarias en n dimensiones, la expresión explícita para el gradiente no sería tan simple; habría factores de escala en términos del tensor métrico para ese sistema de coordenadas. Para el caso anterior utilizado a lo largo de este artículo, la métrica es solo el delta de Kronecker y los factores de escala son todos 1.
Clases de diferenciabilidad
Si todas las derivadas parciales de primer orden evaluados en un punto una en el dominio:
existen y son continuos para todo a en el dominio, f tiene clase de diferenciabilidad C 1 . En general, si todas las derivadas parciales de orden p se evalúan en un punto a :
existen y son continuas, donde p 1 , p 2 ,…, p n y p son como arriba, para todo a en el dominio, entonces f es diferenciable al orden p en todo el dominio y tiene clase de diferenciabilidad C p .
Si f es de clase de diferenciabilidad C ∞ , f tiene derivadas parciales continuas de todo orden y se llama suave . Si f es una función analítica y es igual a su serie de Taylor sobre cualquier punto del dominio, la notación C ω denota esta clase de diferenciabilidad.
Integración múltiple
La integración definida puede extenderse a la integración múltiple sobre las diversas variables reales con la notación;
donde cada región R 1 , R 2 ,…, R n es un subconjunto de o toda la línea real:
y su producto cartesiano le da a la región para integrarse como un solo conjunto:
un hipervolumen n- dimensional . Cuando se evalúa, una integral definida es un número real si la integral converge en la región R de integración (el resultado de una integral definida puede divergir hasta el infinito para una región dada, en tales casos la integral permanece mal definida). Las variables se tratan como variables "ficticias" o "ligadas" que se sustituyen por números en el proceso de integración.
La integral de una función de valor real de una variable real y = f ( x ) con respecto a x tiene una interpretación geométrica como el área delimitada por la curva y = f ( x ) y el eje x . Las integrales múltiples extienden la dimensionalidad de este concepto: asumiendo un análogo n- dimensional de un sistema de coordenadas cartesiano rectangular , la integral definida anterior tiene la interpretación geométrica como el hipervolumen n- dimensional acotado por f ( x ) y el x 1 , x 2 , …, X n ejes, que pueden ser positivos, negativos o cero, dependiendo de la función que se integre (si la integral es convergente).
Si bien el hipervolumen acotado es una idea útil, la idea más importante de las integrales definidas es que representan cantidades totales dentro del espacio. Esto tiene importancia en Matemáticas Aplicadas y física: si f es alguna densidad escalar campo y x son los vector de posición coordenadas, es decir, algunos cantidad escalar por unidad n hipervolumen -dimensional, a continuación, integrando sobre la región R da la cantidad total de la cantidad en R . Las nociones más formales de hipervolumen son el tema de la teoría de la medida . Anteriormente utilizamos la medida de Lebesgue ; consulte Integración de Lebesgue para obtener más información sobre este tema.
Teoremas
Con las definiciones de integración múltiple y derivadas parciales, se pueden formular teoremas clave, incluido el teorema fundamental del cálculo en varias variables reales (a saber, el teorema de Stokes ), la integración por partes en varias variables reales, la simetría de derivadas parciales superiores y el teorema de Taylor. para funciones multivariables . La evaluación de una mezcla de integrales y derivadas parciales se puede hacer usando la diferenciación de teoremas bajo el signo de integral .
Cálculo vectorial
Uno puede recopilar una serie de funciones, cada una de varias variables reales, digamos
en una m -tupla, o algunas veces como un vector de columna o un vector de fila , respectivamente:
todos tratados en la misma base que un campo vectorial de componente m , y usan la forma que sea conveniente. Todas las notaciones anteriores tienen una notación compacta común y = f ( x ) . El cálculo de tales campos vectoriales es el cálculo vectorial . Para obtener más información sobre el tratamiento de los vectores de fila y de columna de funciones multivariables, consulte cálculo de matrices .
Funciones implícitas
Una función implícita de valor real de varias variables reales no se escribe en la forma " y = f (…) ". En cambio, el mapeo es desde el espacio ℝ n + 1 al elemento cero en ℝ (solo el cero ordinario 0):
es una ecuación en todas las variables. Las funciones implícitas son una forma más general de representar funciones, ya que si:
entonces siempre podemos definir:
pero lo contrario no siempre es posible, es decir, no todas las funciones implícitas tienen una forma explícita.
Por ejemplo, usando la notación de intervalo , deje
Al elegir un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional (3D), esta función describe la superficie de un elipsoide 3D centrado en el origen ( x , y , z ) = (0, 0, 0) con semiejes mayores constantes a , b , c , a lo largo de los ejes x , y y z positivos , respectivamente. En el caso de a = b = c = r , tenemos una esfera de radio r centrada en el origen. Otros ejemplos de sección cónica que se pueden describir de manera similar incluyen el hiperboloide y el paraboloide , de manera más general, cualquier superficie 2D en el espacio euclidiano 3D. El ejemplo anterior se puede resolver para x , y o z ; sin embargo, es mucho más ordenado escribirlo de forma implícita.
Para un ejemplo más sofisticado:
para las constantes reales distintas de cero A , B , C , ω , esta función está bien definida para todos ( t , x , y , z ) , pero no puede resolverse explícitamente para estas variables y escribirse como " t = ", " x = ", etc.
El teorema de la función implícita de más de dos variables reales trata de la continuidad y diferenciabilidad de la función, como sigue. [4] Sea ϕ ( x 1 , x 2 ,…, x n ) una función continua con derivadas parciales continuas de primer orden, y sea ϕ evaluado en un punto ( a , b ) = ( a 1 , a 2 ,…, a n , b ) ser cero:
y dejar que la primera derivada parcial de φ con respecto a y evaluada en ( un , b ) ser distinto de cero:
Entonces, hay un intervalo [ y 1 , y 2 ] que contiene b , y una región R que contiene ( a , b ) , tal que para cada x en R hay exactamente un valor de y en [ y 1 , y 2 ] que satisface ϕ ( x , y ) = 0 , y y es una función continua de x de modo que ϕ ( x , y ( x )) = 0 . Los diferenciales totales de las funciones son:
Sustituyendo dy en el último diferencial e igualando los coeficientes de los diferenciales se obtienen las derivadas parciales de primer orden de y con respecto a x i en términos de las derivadas de la función original, cada una como una solución de la ecuación lineal
para i = 1, 2,…, n .
Función de valor complejo de varias variables reales
Una función de valor complejo de varias variables reales puede definirse relajando, en la definición de las funciones de valor real, la restricción del codominio a los números reales y permitiendo valores complejos .
Si f ( x 1 ,…, x n ) es una función valorada tan compleja, puede descomponerse como
donde g y h son funciones con valores reales. En otras palabras, el estudio de las funciones valoradas complejas se reduce fácilmente al estudio de los pares de funciones valoradas reales.
Esta reducción funciona para las propiedades generales. Sin embargo, para una función dada explícitamente, como:
el cálculo de la parte real e imaginaria puede resultar difícil.
Aplicaciones
Las funciones multivariables de variables reales surgen inevitablemente en ingeniería y física , porque las cantidades físicas observables son números reales (con unidades y dimensiones asociadas ), y cualquier cantidad física dependerá generalmente de otras cantidades.
Ejemplos de funciones con valores reales de varias variables reales
Los ejemplos en la mecánica del continuo incluyen la densidad de masa local ρ de una distribución de masa, un campo escalar que depende de las coordenadas de posición espacial (aquí cartesianas para ejemplificar), r = ( x , y , z ) y el tiempo t :
De manera similar para la densidad de carga eléctrica para objetos cargados eléctricamente y muchos otros campos de potencial escalar .
Otro ejemplo es el campo de velocidad , un campo vectorial , que tiene componentes de velocidad v = ( v x , v y , v z ) que son funciones multivariables de coordenadas espaciales y tiempo de manera similar:
Lo mismo ocurre con otros campos vectoriales físicos, como los campos eléctricos y magnéticos , y los campos de potencial vectorial .
Otro ejemplo importante es la ecuación de estado en termodinámica , una ecuación que relaciona la presión P , la temperatura T y el volumen V de un fluido, en general tiene una forma implícita:
El ejemplo más simple es la ley de los gases ideales :
donde n es el número de moles , constante para una cantidad fija de sustancia , y R la constante de gas . Se han derivado empíricamente ecuaciones de estado mucho más complicadas, pero todas tienen la forma implícita anterior.
Las funciones de valor real de varias variables reales aparecen de manera generalizada en la economía . En los fundamentos de la teoría del consumidor, la utilidad se expresa como una función de las cantidades de diversos bienes consumidos, siendo cada cantidad un argumento de la función de utilidad. El resultado de maximizar la utilidad es un conjunto de funciones de demanda , cada una de las cuales expresa la cantidad demandada de un bien particular en función de los precios de los diversos bienes y de la renta o la riqueza. En la teoría del productor , generalmente se supone que una empresa maximiza los beneficios en función de las cantidades de diversos bienes producidos y de las cantidades de diversos factores de producción empleados. El resultado de la optimización es un conjunto de funciones de demanda para los diversos factores de producción y un conjunto de funciones de oferta para los diversos productos; cada una de estas funciones tiene como argumentos los precios de los bienes y de los factores de producción.
Ejemplos de funciones con valores complejos de varias variables reales
Algunos "cantidades físicas" pueden ser en realidad de valor complejo - tales como impedancia compleja , permitividad compleja , la permeabilidad compleja , y el índice de refracción complejo . También son funciones de variables reales, como la frecuencia o el tiempo, así como la temperatura.
En mecánica de fluidos bidimensional , específicamente en la teoría de los flujos potenciales utilizada para describir el movimiento de fluidos en 2d, el potencial complejo
es un valor complejo función de las dos coordenadas espaciales x y y , y otros reales variables asociadas con el sistema. La parte real es el potencial de velocidad y la parte imaginaria es la función de flujo .
Los armónicos esféricos ocurren en física e ingeniería como la solución a la ecuación de Laplace , así como las funciones propias del operador de momento angular de componente z , que son funciones de valor complejo de ángulos polares esféricos de valor real :
En mecánica cuántica , la función de onda tiene necesariamente un valor complejo, pero es una función de las coordenadas espaciales reales (o componentes del momento ), así como del tiempo t :
donde cada uno está relacionado por una transformada de Fourier .
Ver también
- Espacio de coordenadas real
- Análisis real
- Análisis complejo
- Función de varias variables complejas
- Campos escalares
Referencias
- ^ R. Courant. Cálculo diferencial e integral . 2 . Biblioteca de clásicos de Wiley. págs. 46–47. ISBN 0-471-60840-8.
- ^ R. Courant. Cálculo diferencial e integral . 2 . Biblioteca de clásicos de Wiley. pag. 70. ISBN 0-471-60840-8.
- ^ W. Fulks (1978). Cálculo avanzado . John Wiley e hijos. págs. 300-302. ISBN 0-471-02195-4.
- ^ R. Courant. Cálculo diferencial e integral . 2 . Biblioteca de clásicos de Wiley. págs. 117-118. ISBN 0-471-60840-8.
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