En matemáticas , la función de Jack es una generalización del polinomio de Jack , introducido por Henry Jack . El polinomio de Jack es un polinomio homogéneo y simétrico que generaliza los polinomios de Schur y zonales y, a su vez, se generaliza mediante los polinomios de Heckman-Opdam y los polinomios de Macdonald .
La función Jack de una partición entera , parámetro y argumentos se puede definir de forma recursiva de la siguiente manera:
- Para m = 1
- Para m > 1
donde la suma está sobre todas las particiones tal que la partición sesgada es una franja horizontal , a saber
- ( debe ser cero o no ) y
dónde es igual a Si y de lo contrario. Las expresiones y referirse a las particiones conjugadas de y , respectivamente. La notación significa que el producto se toma sobre todas las coordenadas de cajas en el diagrama de Young de la partición.
Fórmula combinatoria
En 1997, F. Knop y S. Sahi dieron una fórmula puramente combinatoria para los polinomios de Jacken n variables:
La suma se toma sobre todos los cuadros de forma admisibles. y
con
Un cuadro de forma admisible es un relleno del diagrama de Young con números 1,2, ..., n tal que para cualquier casilla ( i , j ) en el cuadro,
- cuando sea
- cuando sea y
Una caja es fundamental para el cuadro T si y
Este resultado puede verse como un caso especial de la fórmula combinatoria más general para polinomios de Macdonald .
Las funciones de Jack forman una base ortogonal en un espacio de polinomios simétricos, con producto interno:
Esta propiedad de ortogonalidad no se ve afectada por la normalización. La normalización definida anteriormente se suele denominar normalización J. La normalización C se define como
dónde
Para a menudo se denota por y llamado polinomio zonal .
La normalización P viene dada por la identidad, dónde
dónde y indica la longitud del brazo y la pierna, respectivamente. Por lo tanto, para es la función de Schur habitual.
Similar a los polinomios de Schur, se puede expresar como una suma sobre cuadros de Young. Sin embargo, es necesario agregar un peso adicional a cada cuadro que depende del parámetro.
Por lo tanto, una fórmula para la función Jack es dado por
donde la suma se toma sobre todos los cuadros de forma , y denota la entrada en caja s de T .
El peso se puede definir de la siguiente manera: Cada cuadro T de forma se puede interpretar como una secuencia de particiones
dónde define la forma oblicua con contenido i en T . Luego
dónde
y el producto se toma solamente sobre todas las cajas de s ental que s tiene una caja deen la misma fila, pero no en la misma columna.
Cuándo la función Jack es un múltiplo escalar del polinomio de Schur
dónde
es el producto de todas las longitudes de gancho de .
Si la partición tiene más partes que el número de variables, entonces la función Jack es 0:
En algunos textos, especialmente en la teoría de matrices aleatorias, los autores han encontrado más conveniente utilizar un argumento de matriz en la función Jack. La conexión es sencilla. Si es una matriz con valores propios , luego