En matemáticas , particularmente en la teoría q-analógica , la función theta de Ramanujan generaliza la forma de las funciones theta de Jacobi , mientras captura sus propiedades generales. En particular, el producto triple de Jacobi adquiere una forma particularmente elegante cuando se escribe en términos de la theta de Ramanujan. La función lleva el nombre de Srinivasa Ramanujan .
Definición
La función theta de Ramanujan se define como
para | ab | <1. La identidad del triple producto de Jacobi toma la forma
Aquí, la expresión denota el símbolo q-Pochhammer . Las identidades que se derivan de esto incluyen
y
y
siendo esta última la función de Euler , que está estrechamente relacionada con la función eta de Dedekind . La función theta de Jacobi se puede escribir en términos de la función theta de Ramanujan como:
Representaciones integrales
Tenemos la siguiente representación integral para la forma completa de dos parámetros de la función theta de Ramanujan: [1]
Los casos especiales de las funciones theta de Ramanujan dadas por OEIS : A000122 y OEIS : A010054 [2] también tienen las siguientes representaciones integrales: [1]
Esto conduce a varias integrales de casos especiales para constantes definidas por estas funciones cuando (cf. valores explícitos de la función theta ). En particular, tenemos que [1]
y eso
Aplicación en teoría de cuerdas
La función theta Ramanujan se utiliza para determinar las dimensiones críticas en la teoría de cuerdas bosonic , la teoría de supercuerdas y M-teoría .
Referencias
- ↑ a b c Schmidt, MD (2017). "Transformaciones de funciones generadoras de series cuadradas" (PDF) . Revista de Desigualdades y Funciones Especiales . 8 (2). arXiv : 1609.02803 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Funciones Theta de Ramanujan" . MathWorld . Consultado el 29 de abril de 2018 .
- Bailey, WN (1935). Serie hipergeométrica generalizada . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 32 . Cambridge: Cambridge University Press.
- Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Serie hipergeométrica básica . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 96 (2ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83357-4.
- "Función de Ramanujan" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Kaku, Michio (1994). Hiperespacio: una odisea científica a través de universos paralelos, distorsiones del tiempo y la décima dimensión . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-286189-1.
- Weisstein, Eric W. "Funciones Theta de Ramanujan" . MathWorld .