En matemáticas , el teorema del número pentagonal , originalmente debido a Euler , relaciona las representaciones de productos y series de la función de Euler . Se afirma que
En otras palabras,
Los exponentes 1, 2, 5, 7, 12, ... en el lado derecho están dados por la fórmula g k = k (3 k - 1) / 2 para k = 1, −1, 2, −2, 3, ... y se denominan números pentagonales (generalizados) (secuencia A001318 en la OEIS ). Esto se mantiene como una identidad de series de potencia convergente para, y también como identidad de series formales de poder .
Una característica sorprendente de esta fórmula es la cantidad de cancelación en la expansión del producto.
Relación con particiones
La identidad implica una recurrencia para calcular, el número de particiones de n :
o más formalmente,
donde la suma es sobre todos los enteros distintos de cero k (positivo y negativo) yes el k- ésimo número pentagonal generalizado. Desde para todos , la serie eventualmente se convertirá en ceros, permitiendo el cálculo discreto.
Prueba biyectiva
El teorema se puede interpretar combinatoriamente en términos de particiones . En particular, el lado izquierdo es una función generadora para el número de particiones de n en un número par de partes distintas menos el número de particiones de n en un número impar de partes distintas. Cada partición de n en un número par de partes distintas contribuye +1 al coeficiente de x n ; cada partición en un número impar de partes distintas contribuye -1. (El artículo sobre funciones de partición no restringidas analiza este tipo de función generadora).
Por ejemplo, el coeficiente de x 5 es +1 porque hay dos formas de dividir 5 en un número par de partes distintas (4 + 1 y 3 + 2), pero solo una forma de hacerlo para un número impar de partes distintas (la partición de una parte 5). Sin embargo, el coeficiente de x 12 es -1 porque hay siete formas de dividir 12 en un número par de partes distintas, pero hay ocho formas de dividir 12 en un número impar de partes distintas.
Esta interpretación conduce a una prueba de la identidad a través de la involución (es decir, una biyección que es su propia inversa). Considere el diagrama de Ferrers de cualquier partición de n en partes distintas. Por ejemplo, el siguiente diagrama muestra n = 20 y la partición 20 = 7 + 6 + 4 + 3.
Sea m el número de elementos en la fila más pequeña del diagrama ( m = 3 en el ejemplo anterior). Sea s el número de elementos en la línea de 45 grados más a la derecha del diagrama ( s = 2 puntos en rojo arriba, ya que 7−1 = 6, pero 6−1> 4). Si m > s , tome la línea de 45 grados más a la derecha y muévala para formar una nueva fila, como en el diagrama a continuación.
Si m ≤ s (como en nuestro diagrama recién formado donde m = 2, s = 5) podemos revertir el proceso moviendo la fila inferior para formar una nueva línea de 45 grados (agregando 1 elemento a cada una de las primeras m filas), llevándonos de vuelta al primer diagrama.
Un poco de pensamiento muestra que este proceso siempre cambia la paridad del número de filas, y aplicar el proceso dos veces nos devuelve al diagrama original. Esto nos permite emparejar los diagramas de Ferrers que aportan 1 y -1 al término x n de la serie, lo que da como resultado un coeficiente neto de 0. Esto es válido para todos los términos excepto cuando el proceso no se puede realizar en todos los diagramas de Ferrers con n puntos. Hay dos casos de este tipo:
1) m = sy la diagonal más a la derecha y la fila inferior se encuentran. Por ejemplo,
Intentar realizar la operación nos llevaría a:
que no cambia la paridad del número de filas, y no es reversible en el sentido de que volver a realizar la operación no nos devuelve al diagrama original. Si hay m elementos en la última fila del diagrama original, entonces
donde el nuevo índice k se considera igual a m . Tenga en cuenta que el signo asociado con esta partición es (-1) s , que por construcción es igual a (-1) my (-1) k .
2) m = s +1 y la diagonal más a la derecha y la fila inferior se encuentran. Por ejemplo,
Nuestra operación requiere que movamos la diagonal derecha a la fila inferior, pero eso daría lugar a dos filas de tres elementos, prohibido ya que estamos contando particiones en partes distintas. Este es el caso anterior pero con una fila menos, por lo que
donde tomamos k = 1− m (un entero negativo). Aquí el signo asociado es (−1) s con s = m −1 = - k , por lo tanto, el signo es nuevamente (−1) k .
En resumen, se ha demostrado que las particiones en un número par de partes distintas y un número impar de partes distintas se cancelan exactamente entre sí, excepto si n es un número pentagonal generalizado., en cuyo caso queda exactamente un diagrama de Ferrers. Pero esto es precisamente lo que el lado derecho de la identidad dice que debería suceder, así que hemos terminado.
Recurrencia de la partición
Podemos reformular la prueba anterior, usando particiones , que denotamos como:, dónde . El número de particiones de n es la función de partición p ( n ) que tiene función generadora:
Tenga en cuenta que es el recíproco del producto en el lado izquierdo de nuestra identidad:
Denotemos la expansión de nuestro producto por , así que eso
- .
Multiplicando el lado izquierdo e igualando los coeficientes en los dos lados, obtenemos un 0 p (0) = 1 y para todos . Esto da una relación de recurrencia que define p ( n ) en términos de una n , y viceversa una recurrencia para una n en términos de p ( n ). Por lo tanto, nuestro resultado deseado:
por es equivalente a la identidad dónde y yo se extiende sobre todos los enteros de manera que(este rango incluye i positivo y negativo, para usar ambos tipos de números pentagonales generalizados). Esto a su vez significa:
- .
En términos de conjuntos de particiones, esto equivale a decir que los siguientes conjuntos son de igual cardinalidad:
- y ,
dónde denota el conjunto de todas las particiones de . Todo lo que queda es dar una biyección de un conjunto a otro, lo cual se logra mediante la función φ de X a Y que mapea la partición a la partición definido por:
Se trata de una involución (un mapeo autoinverso) y, por tanto, en particular, una biyección, que prueba nuestro reclamo y la identidad.
Ver también
El teorema del número pentagonal ocurre como un caso especial del producto triple de Jacobi .
Las series Q generalizan la función de Euler, que está estrechamente relacionada con la función eta de Dedekind , y se produce en el estudio de formas modulares . El módulo de la función de Euler (ver la imagen allí) muestra la simetría del grupo modular fractal y ocurre en el estudio del interior del conjunto de Mandelbrot .
Referencias
- Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
- Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Introducción a la teoría de los números . Revisado por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-921986-5. Señor 2445243 . Zbl 1159.11001 .
enlaces externos
- Jordan Bell (2005). "Euler y el teorema del número pentagonal". arXiv : matemáticas.HO / 0510054 .
- Sobre el teorema pentagonal de Euler en MathPages
- Secuencia OEIS A000041 (a (n) = número de particiones de n (los números de partición))
- De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium en Scholarly Commons.