En matemáticas , la conjetura jacobiana es un famoso problema sin resolver relacionado con polinomios en varias variables . Establece que si una función polinomial de un espacio n -dimensional a sí misma tiene un determinante jacobiano que es una constante distinta de cero, entonces la función tiene un polinomio inverso. Fue conjeturado por primera vez en 1939 por Ott-Heinrich Keller , [1] y ampliamente publicitado por Shreeram Abhyankar , como un ejemplo de una pregunta difícil en geometría algebraica que puede entenderse usando poco más que un conocimiento de cálculo .
Campo | Geometría algebraica |
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Conjeturado por | Ott-Heinrich Keller |
Conjeturado en | 1939 |
Equivalente a | Conjetura de Dixmier |
La conjetura jacobiana es notoria por la gran cantidad de intentos de prueba que resultaron contener errores sutiles. A partir de 2018, no hay afirmaciones plausibles que lo hayan probado. Incluso el caso de dos variables ha resistido todos los esfuerzos. No se conocen razones convincentes para creer que sea cierto y, según van den Essen [2], existen algunas sospechas de que la conjetura es de hecho falsa para un gran número de variables (de hecho, tampoco hay evidencia convincente que sustente estas sospechas). La conjetura jacobiana es la número 16 en la lista de problemas matemáticos para el próximo siglo de Stephen Smale de 1998 .
El determinante jacobiano
Sea N > 1 un entero fijo y considere polinomios f 1 , ..., f N en variables X 1 , ..., X N con coeficientes en un campo k . Luego definimos una función con valores vectoriales F : k N → k N estableciendo:
- F ( X 1 , ..., X N ) = ( f 1 ( X 1 , ..., X N ), ..., f N ( X 1 , ..., X N )).
Cualquier mapa F : k N → k N que surja de esta manera se llama un mapa polinomial .
El determinante jacobiano de F , denotado por J F , se define como el determinante de la matriz jacobiana N × N que consta de las derivadas parciales de f i con respecto a X j :
a continuación, J F es en sí mismo una función polinómica de las N variables de X 1 , ..., X N .
Formulación de la conjetura
De la regla de la cadena multivariable se deduce que si F tiene una función polinomial inversa G : k N → k N , entonces J F tiene un polinomio recíproco, por lo que es una constante distinta de cero. La conjetura jacobiana es la siguiente inversa parcial:
Conjetura jacobiana: Let k tienen característica 0. Si J F es una constante no cero, entonces F tiene una función inversa G : k N → k N que es normal , lo que significa sus componentes son polinomios.
Según van den Essen, [2] el problema fue conjeturado por primera vez por Keller en 1939 para el caso limitado de dos variables y coeficientes enteros.
El análogo obvio de la conjetura jacobiana falla si k tiene la característica p > 0 incluso para una variable. La característica de un campo debe ser prima, por lo que es al menos 2. El polinomio x - x p tiene derivada 1 - px p −1 que es 1 (porque px es 0) pero no tiene función inversa. Sin embargo, Kossivi Adjamagbo sugirió extender la conjetura jacobiana a la característica p > 0 agregando la hipótesis de que p no divide el grado de extensión del campo k ( X ) / k ( F ) . [3]
La condición J F ≠ 0 está relacionada con el teorema de la función inversa en el cálculo multivariable . De hecho, para funciones suaves (y en particular para polinomios) existe una función inversa local suave para F en cada punto donde J F es distinto de cero. Por ejemplo, el mapa x → x + x 3 tiene un inverso global suave, pero el inverso no es polinomio.
Resultados
Stuart Sui-Sheng Wang demostró la conjetura jacobiana para polinomios de grado 2. [4] Hyman Bass, Edwin Connell y David Wright demostraron que el caso general se deriva del caso especial donde los polinomios son de grado 3, o incluso más específicamente, de tipo cúbico homogéneo, es decir, de la forma F = ( X 1 + H 1 , ..., X n + H n ), donde cada H i es cero o un cúbico homogéneo. [5] Ludwik Drużkowski mostró que se puede suponer además que el mapa es de tipo lineal cúbico, lo que significa que los H i distintos de cero son cubos de polinomios lineales homogéneos. [6] Parece que la reducción de Drużkowski es una de las formas más prometedoras de avanzar. Estas reducciones introducen variables adicionales y, por lo tanto, no están disponibles para N fijo .
Edwin Connell y Lou van den Dries demostraron que si la conjetura jacobiana es falsa, entonces tiene un contraejemplo con coeficientes enteros y determinante jacobiano 1. [7] En consecuencia, la conjetura jacobiana es verdadera para todos los campos de la característica 0 o para ninguno. . Para N fijo , es cierto si se cumple para al menos un campo algebraicamente cerrado de característica 0.
Sea k [ X ] el anillo polinomial k [ X 1 , ..., X n ] y k [ F ] denote la k -subálgebra generada por f 1 , ..., f n . Para una F dada , la conjetura jacobiana es verdadera si, y solo si, k [ X ] = k [ F ] . Keller (1939) demostró el caso biracional, es decir, donde los dos campos k ( X ) y k ( F ) son iguales. El caso donde k ( X ) es una extensión de Galois de k ( F ) fue probado por Andrew Campbell para mapas complejos [8] y en general por Michael Razar [9] e, independientemente, por David Wright. [10] Tzuong-Tsieng Moh verificó la conjetura para polinomios de grado como máximo 100 en dos variables. [11] [12]
Michiel de Bondt y Arno van den Essen [13] [14] y Ludwik Drużkowski [15] demostraron de forma independiente que es suficiente para probar la conjetura jacobiana para mapas complejos de tipo cúbico homogéneo con una matriz jacobiana simétrica, y además mostraron que la conjetura es válido para mapas de tipo lineal cúbico con una matriz jacobiana simétrica, sobre cualquier campo de característica 0.
La fuerte conjetura jacobiana real era que un mapa polinomial real con un determinante jacobiano que no desaparece en ninguna parte tiene una inversa global suave. Eso equivale a preguntar si dicho mapa es topológicamente un mapa adecuado, en cuyo caso es un mapa de cobertura de una variedad simplemente conectada, por lo tanto invertible. Sergey Pinchuk construyó dos contraejemplos variables de grado total 35 y superior. [dieciséis]
Es bien sabido que la conjetura de Dixmier implica la conjetura jacobiana. [5] A la inversa, Yoshifumi Tsuchimoto [17] e independientemente Alexei Belov-Kanel y Maxim Kontsevich [18] muestran que la conjetura jacobiana para 2N variables implica la conjetura de Dixmier en N dimensiones. Kossivi Adjamagbo y Arno van den Essen [19] también dan una prueba autónoma y puramente algebraica de la última implicación, quienes también demostraron en el mismo artículo que estas dos conjeturas son equivalentes a la conjetura de Poisson.
Referencias
- ↑ Keller, Ott-Heinrich (1939), "Ganze Cremona-Transformationen", Monatshefte für Mathematik und Physik , 47 (1): 299-306, doi : 10.1007 / BF01695502 , ISSN 0026-9255
- ^ a b van den Essen, Arno (1997), "Automorfismos polinomiales y la conjetura jacobiana" (PDF) , Algèbre no conmutativo, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995) , Sémin. Congr., 2 , París: Soc. Matemáticas. Francia, págs. 55–81, MR 1601194
- ^ Adjamagbo, Kossivi (1995), "Sobre álgebras separables sobre una UFD y la conjetura jacobiana en cualquier característica", Automorfismos de espacios afines (Curaçao, 1994) , Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., Págs. 89-103, doi : 10.1007 / 978-94-015-8555-2_5 , MR 1352692
- ^ Wang, Stuart Sui-Sheng (agosto de 1980), "Un criterio jacobiano para la separabilidad", Journal of Algebra , 65 (2): 453–494, doi : 10.1016 / 0021-8693 (80) 90233-1
- ^ a b Bass, Hyman; Connell, Edwin H .; Wright, David (1982), "La conjetura jacobiana: reducción del grado y expansión formal de la inversa", Boletín de la American Mathematical Society , New Series, 7 (2): 287–330, doi : 10.1090 / S0273-0979- 1982-15032-7 , ISSN 1088 hasta 9485 , MR 0663785
- ^ Drużkowski, Ludwik M. (1983), "Un enfoque eficaz de la conjetura jacobiana de Keller", Mathematische Annalen , 264 (3): 303–313, doi : 10.1007 / bf01459126 , MR 0714105
- ^ Connell, Edwin; van den Dries, Lou (1983), "Mapas polinomiales inyectivos y la conjetura jacobiana", Journal of Pure and Applied Algebra , 28 (3): 235-239, doi : 10.1016 / 0022-4049 (83) 90094-4 , MR 0701351
- ^ Campbell, L. Andrew (1973), "Una condición para que un mapa polinomial sea invertible", Mathematische Annalen , 205 (3): 243–248, doi : 10.1007 / bf01349234 , MR 0324062
- ^ Razar, Michael (1979), "Mapas polinomiales con jacobiano constante", Israel Journal of Mathematics , 32 (2-3): 97-106, doi : 10.1007 / bf02764906 , MR 0531253
- ^ Wright, David (1981), "Sobre la conjetura jacobiana", Illinois Journal of Mathematics , 25 (3): 423–440, doi : 10.1215 / ijm / 1256047158 , MR 0620428
- ^ Moh, Tzuong-Tsieng (1983), "Sobre la conjetura jacobiana y las configuraciones de las raíces" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 340 (340): 140-212, doi : 10.1515 / crll.1983.340.140 , ISSN 0075 -4102 , MR 0691964
- ^ Moh, Tzuong-Tsieng, Sobre la conjetura jacobiana global para polinomios de grado menor que 100 , preimpresión
- ^ de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2005), "Una reducción de la conjetura jacobiana al caso simétrico", Proceedings of the American Mathematical Society , 133 (8): 2201-2205, doi : 10.1090 / S0002-9939-05-07570- 2 , MR 2138860
- ^ de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2005), "La conjetura jacobiana para asignaciones simétricas de Drużkowski", Annales Polonici Mathematici , 86 (1): 43–46, doi : 10.4064 / ap86-1-5 , MR 2183036
- ^ Drużkowski, Ludwik M. (2005), "La conjetura jacobiana: reducción simétrica y solución en el caso lineal cúbico simétrico", Annales Polonici Mathematici , 87 : 83–92, doi : 10.4064 / ap87-0-7 , MR 2208537
- ^ Pinchuk, Sergey (1994), "Un contraejemplo de la fuerte conjetura jacobiana real", Mathematische Zeitschrift , 217 (1): 1–4, doi : 10.1007 / bf02571929 , MR 1292168
- ^ Tsuchimoto, Yoshifumi (2005), "Endomorfismos del álgebra de Weyl y pag {\ Displaystyle p} -curvatures " , Osaka Journal of Mathematics , 42 (2): 435–452, ISSN 0030-6126
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- ^ Adjamagbo, Pascal Kossivi; van den Essen, Arno (2007), "Una prueba de la equivalencia de las conjeturas de Dixmier, Jacobian y Poisson" (PDF) , Acta Mathematica Vietnamica , 32 : 205-214, MR 2368008
enlaces externos
- Página web de Tzuong-Tsieng Moh sobre la conjetura