Los problemas de Smale son una lista de dieciocho problemas sin resolver en matemáticas que fue propuesta por Steve Smale en 1998, [1] reeditada en 1999. [2] Smale compuso esta lista en respuesta a una solicitud de Vladimir Arnold , entonces vicepresidente de la Internacional. Unión Matemática , que pidió a varios matemáticos que propusieran una lista de problemas para el siglo XXI. La inspiración de Arnold vino de la lista de problemas de Hilbert que se había publicado a principios del siglo XX.
Tabla de problemas
Problema | Breve explicacion | Estado | Año resuelto |
---|---|---|---|
1er | Hipótesis de Riemann : La parte real de cada cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2. (ver también el octavo problema de Hilbert ) | Irresoluto. | - |
2do | Conjetura de Poincaré : Toda variedad tridimensional cerrada y simplemente conectada es homeomórfica a la esfera tridimensional. | Resuelto. Resultado: Sí, probado por Grigori Perelman usando Ricci flow . [3] [4] [5] | 2003 |
Tercero | Problema P versus NP : para todos los problemas para los cuales un algoritmo puede verificar una solución dada rápidamente (es decir, en tiempo polinomial ), ¿puede un algoritmo también encontrar esa solución rápidamente? | Irresoluto. | - |
Cuarto | Conjetura de Shub-Smale tau sobre los ceros enteros de un polinomio de una variable [6] [7] | Irresoluto. | - |
Quinto | ¿Se puede decidir si una ecuación diofántica ƒ ( x , y ) = 0 (ingrese ƒ ∈ [ u , v ]) tiene una solución entera, ( x , y ), en el tiempo (2 s ) c para alguna constante universal c ? Es decir, ¿se puede resolver el problema en tiempo exponencial? | Irresoluto. | - |
Sexto | ¿Es finito el número de equilibrios relativos ( configuraciones centrales ), en el problema de n cuerpos de la mecánica celeste, para cualquier elección de números reales positivos m 1 , ..., m n como masas? | Parcialmente resuelto. Probado para casi todos los sistemas de cinco cuerpos por A. Albouy y V. Kaloshin en 2012. [8] | 2012 |
Séptimo | Algoritmo para encontrar un conjunto de tal que la función: se minimiza para una distribución de N puntos en 2 esferas. Esto es equivalente al problema de Thomson . | Irresoluto. | - |
Octavo | Ampliar el modelo matemático de la teoría del equilibrio general para incluir ajustes de precios . | Gjerstad (2013) [9] amplía el modelo determinista de ajuste de precios a un modelo estocástico y muestra que cuando el modelo estocástico se linealiza alrededor del equilibrio, el resultado es el modelo de ajuste de precios autorregresivo utilizado en la econometría aplicada. Luego prueba el modelo con datos de ajuste de precios de un experimento de equilibrio general. El modelo funciona bien en un experimento de equilibrio general con dos productos básicos. | 2013 |
Noveno | El problema de programación lineal : Encuentre un algoritmo de tiempo fuertemente polinomial que para una matriz dada A ∈ R m × n y b ∈ R m decida si existe x ∈ R n con Ax ≥ b . | Irresoluto. | - |
Décimo | Lema de cierre de Pugh (orden superior de suavidad) | Parcialmente resuelto. Probado para difeomorfismos hamiltonianos de superficies cerradas por M. Asaoka y K. Irie en 2016. [10] | 2016 |
11º | ¿Es la dinámica unidimensional generalmente hiperbólica? (a) ¿Se puede aproximar un polinomio complejo T por uno del mismo grado con la propiedad de que cada punto crítico tiende a un sumidero periódico bajo iteración? (b) ¿Puede un mapa uniforme T : [0,1] → [0,1] ser C r aproximado por uno que es hiperbólico, para todo r > 1 ? | (a) Sin resolver, incluso en el espacio de parámetros más simple de polinomios, el conjunto de Mandelbrot . (b) Resuelto. Probado por Kozlovski, Shen y van Strien. [11] | 2007 |
12 | Para un colector cerrado y cualquier dejar ser el grupo topológico de difeomorfismos desobre sí mismo. Dado arbitrario, ¿es posible aproximarlo arbitrariamente bien por tales que conmuta solo con sus iteraciones? En otras palabras, es el subconjunto de todos los difeomorfismos cuyos centralizadores son triviales densos en? | Parcialmente resuelto. Resuelto en la topología C 1 por Christian Bonatti, Sylvain Crovisier y Amie Wilkinson [12] en 2009. Todavía abierto en la topología C r para r > 1 . | 2009 |
13 | Problema 16 de Hilbert : Describe las posiciones relativas de los óvalos que se originan a partir de una curva algebraica real y como ciclos límite de un campo vectorial polinomial en el plano. | Sin resolver, incluso para curvas algebraicas de grado 8. | - |
14 | ¿Las propiedades del atractor de Lorenz exhiben las de un atractor extraño? | Resuelto. Resultado: Sí, resuelto por Warwick Tucker usando aritmética de intervalos . [13] | 2002 |
15 | ¿Las ecuaciones de Navier-Stokes en R 3 siempre tienen una solución uniforme única que se extiende para siempre? | Irresoluto. | - |
16 ° | Conjetura jacobiana : si el determinante jacobiano de F es una constante distinta de cero y k tiene la característica 0, entonces F tiene una función inversa G : k N → k N , y G es regular (en el sentido de que sus componentes son polinomios). | Irresoluto. | - |
17 | Resolver ecuaciones polinomiales en tiempo polinomial en el caso promedio | Resuelto. C. Beltrán y LM Pardo encontraron un algoritmo probabilístico uniforme (algoritmo promedio de Las Vegas ) para el problema 17 de Smale [14] [15] F. Cucker y P. Bürgisser hicieron el análisis suavizado de un algoritmo probabilístico a la Beltrán-Pardo y luego exhibieron un algoritmo determinista que se ejecuta en el tiempo. [16] Finalmente, P. Lairez encontró un método alternativo para desaleatorizar el algoritmo y, por lo tanto, encontró un algoritmo determinista que se ejecuta en un tiempo polinomial promedio. [17] Todos estos trabajos siguen el trabajo fundamental de Shub y Smale (la "serie Bezout") iniciado en [18] | 2008-2016 |
18 | Límites de la inteligencia (habla de los problemas fundamentales de la inteligencia y el aprendizaje, tanto del lado humano como de la máquina) [19] | Irresoluto. | - |
En versiones posteriores, Smale también enumeró tres problemas adicionales, "que no parecen lo suficientemente importantes como para merecer un lugar en nuestra lista principal, pero aún así sería bueno resolverlos" [20] [21]
- Problema de valor medio
- ¿Son las tres esferas un conjunto mínimo ( conjetura de Gottschalk )?
- ¿Es un difeomorfismo de Anosov de una variedad compacta topológicamente lo mismo que el modelo de grupo de Lie de John Franks?
Ver también
- Problemas del Premio del Milenio
- Problemas de Simon
- El origen del séptimo problema en la mitología griega
Referencias
- ^ Smale, Steve (1998). "Problemas matemáticos para el próximo siglo". Intelligencer matemático . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . doi : 10.1007 / bf03025291 .
- ^ Smale, Steve (1999). "Problemas matemáticos para el próximo siglo". En Arnold, VI; Atiyah, M .; Lax, P .; Mazur, B. (eds.). Matemáticas: fronteras y perspectivas . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 271-294. ISBN 978-0821820704.
- ^ Perelman, Grigori (2002). "La fórmula de la entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas". arXiv : math.DG / 0211159 .
- ^ Perelman, Grigori (2003). "Ricci flow con cirugía en tres colectores". arXiv : math.DG / 0303109 .
- ^ Perelman, Grigori (2003). "Tiempo de extinción finito para las soluciones al flujo de Ricci en ciertos tres múltiples". arXiv : math.DG / 0307245 .
- ^ Shub, Michael; Smale, Steve (1995). "¿Sobre la intratabilidad del Nullstellensatz de Hilbert y una versión algebraica de" NP ≠ P? " ". Duke Math. J . 81 : 47–54. doi : 10.1215 / S0012-7094-95-08105-8 . Zbl 0882.03040 .
- ^ Bürgisser, Peter (2000). Completitud y reducción en la teoría de la complejidad algebraica . Algoritmos y Computación en Matemáticas. 7 . Berlín: Springer-Verlag . pag. 141. ISBN 978-3-540-66752-0. Zbl 0948.68082 .
- ^ Albouy, A .; Kaloshin, V. (2012). "Finitud de configuraciones centrales de cinco cuerpos en el plano" . Annals of Mathematics . 176 : 535–588. doi : 10.4007 / annals.2012.176.1.10 .
- ^ Gjerstad, Steven (2013). "Dinámica de precios en una economía cambiaria". Teoría económica . 52 (2): 461–500. CiteSeerX 10.1.1.415.3888 . doi : 10.1007 / s00199-011-0651-5 .
- ^ Asaoka, M .; Irie, K. (2016). "A C ∞ lema de cierre para difeomorfismos hamiltonianos de superficies cerradas". Análisis geométrico y funcional . 26 (5): 1245-1254. doi : 10.1007 / s00039-016-0386-3 .
- ^ Kozlovski, O .; Shen, W .; van Strien, S. (2007). "Densidad de hiperbolicidad en dimensión uno" . Annals of Mathematics . 166 : 145-182. doi : 10.4007 / annals.2007.166.145 .
- ^ Bonatti, C .; Crovisier, S .; Wilkinson, A. (2009). "El difeomorfismo genérico C 1 tiene centralizador trivial". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 109 : 185–244. arXiv : 0804.1416 . doi : 10.1007 / s10240-009-0021-z .
- ^ Tucker, Warwick (2002). "Un solucionador de ODE riguroso y el problema 14 de Smale" (PDF) . Fundamentos de la matemática computacional . 2 (1): 53-117. CiteSeerX 10.1.1.545.3996 . doi : 10.1007 / s002080010018 .
- ^ Beltrán, Carlos; Pardo, Luis Miguel (2008). "Sobre el problema 17 de Smale: una respuesta positiva probabilística" (PDF) . Fundamentos de la matemática computacional . 8 (1): 1–43. CiteSeerX 10.1.1.211.3321 . doi : 10.1007 / s10208-005-0211-0 .
- ^ Beltrán, Carlos; Pardo, Luis Miguel (2009). "Problema 17 de Smale: tiempo polinomial promedio para calcular soluciones afines y proyectivas" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 22 (2): 363–385. Código bibliográfico : 2009JAMS ... 22..363B . doi : 10.1090 / s0894-0347-08-00630-9 .
- ^ Cucker, Felipe; Bürgisser, Peter (2011). "Sobre un problema planteado por Steve Smale". Annals of Mathematics . 174 (3): 1785–1836. arXiv : 0909.2114 . doi : 10.4007 / annals.2011.174.3.8 .
- ^ Lairez, Pierre (2016). "Un algoritmo determinista para calcular raíces aproximadas de sistemas polinomiales en tiempo promedio polinomial". Fundamentos de la matemática computacional . a aparecer.
- ^ Shub, Michael; Smale, Stephen (1993). "Complejidad del teorema de Bézout. I. Aspectos geométricos". J. Amer. Matemáticas. Soc . 6 (2): 459–501. doi : 10.2307 / 2152805 . JSTOR 2152805 ..
- ^ "Tucson - Día 3 - Entrevista con Steve Smale" . Recursividad . 3 de febrero de 2006.
- ^ Smale, Steve. "Problemas matemáticos para el próximo siglo" (PDF) .
- ^ Smale, Steve. "Problemas matemáticos para el próximo siglo, Matemáticas: fronteras y perspectivas". Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI : 271-294.