En matemáticas , los números de Jacobsthal son una secuencia entera que lleva el nombre del matemático alemán Ernst Jacobsthal . Al igual que los números de Fibonacci relacionados , son un tipo específico de secuencia de Lucas. para los cuales P = 1 y Q = −2 [1], y están definidos por una relación de recurrencia similar : en términos simples, la secuencia comienza con 0 y 1, luego cada número siguiente se encuentra sumando el número anterior a dos veces el número anterior a ese. Los primeros números de Jacobsthal son:
Números de Jacobsthal
Los números de Jacobsthal se definen por la relación de recurrencia:
El siguiente número de Jacobsthal también viene dado por la fórmula de recursividad:
o por:
La primera fórmula de recursividad anterior también se satisface con las potencias de 2.
El número de Jacobsthal en un punto específico de la secuencia se puede calcular directamente usando la ecuación de forma cerrada: [2]
La función generadora de los números de Jacobsthal es
La suma de los recíprocos de los números de Jacobsthal es aproximadamente 2.7186, un poco más grande que e .
Los números de Jacobsthal se pueden extender a índices negativos usando la relación de recurrencia o la fórmula explícita, dando
La siguiente identidad se mantiene
Números de Jacobsthal – Lucas
Los números de Jacobsthal-Lucas representan la secuencia complementaria de Lucas . Satisfacen la misma relación de recurrencia que los números de Jacobsthal pero tienen valores iniciales diferentes:
El siguiente número de Jacobsthal – Lucas también satisface: [2]
El número de Jacobsthal-Lucas en un punto específico de la secuencia se puede calcular directamente usando la ecuación de forma cerrada: [2]
Los primeros números de Jacobsthal – Lucas son:
Números oblongos de Jacobsthal
Los primeros números oblongos de Jacobsthal son: 0, 1, 3, 15, 55, 231, 903, 3655, 14535, 58311,… (secuencia A084175 en la OEIS )
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Número de Jacobsthal" . MathWorld .
- ^ a b c Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A014551 (números de Jacobsthal-Lucas)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.