En matemáticas, una base de Janet es una forma normal para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) lineales homogéneas que elimina la arbitrariedad inherente de cualquier sistema de este tipo. Fue introducido en 1920 por Maurice Janet . [1] Fritz Schwarz la llamó por primera vez la base de Janet en 1998. [2]
Los lados izquierdos de tales sistemas de ecuaciones pueden considerarse como polinomios diferenciales de un anillo, y la forma normal de Janet como una base especial del ideal que generan. Por abuso de lenguaje, esta terminología se aplicará tanto al sistema original como al ideal de polinomios diferenciales generados por los lados izquierdos. Una base Janet es la predecesora de una base Gröbner introducida por Bruno Buchberger [3]para ideales polinomiales. Con el fin de generar una base de Janet para cualquier sistema dado de pde lineales, se debe proporcionar una clasificación de sus derivadas; entonces la base de Janet correspondiente es única. Si un sistema de pde lineales se da en términos de una base de Janet, su dimensión diferencial puede determinarse fácilmente; es una medida del grado de indeterminación de su solución general. Para generar una descomposición de Loewy de un sistema de pde lineales, primero se debe determinar su base de Janet.
Generando una base Janet
Cualquier sistema de pde lineales homogéneos es altamente no único, por ejemplo, se puede agregar al sistema una combinación lineal arbitraria de sus elementos sin cambiar su conjunto de soluciones. A priori no se sabe si tiene soluciones no triviales. De manera más general, se desconoce el grado de arbitrariedad de su solución general, es decir, cuántas constantes o funciones indeterminadas puede contener. Estas preguntas fueron el punto de partida del trabajo de Janet; consideró sistemas de pde lineales en cualquier número de variables dependientes e independientes y generó una forma normal para ellos. Aquí principalmente pde lineales en el plano con las coordenadas y será considerado; el número de funciones desconocidas es una o dos. La mayoría de los resultados descritos aquí pueden generalizarse de forma obvia a cualquier número de variables o funciones. [4] [5] [6] Para generar una representación única para un sistema dado de pde lineales, primero se debe definir una clasificación de sus derivadas.
Definición Una clasificación de derivadas es una ordenación total tal que para dos derivadas cualesquiera, y y cualquier operador de derivación las relaciones y son validos.
Un derivado se llama superior a Si . La derivada más alta en una ecuación se llama su derivada principal . Para las derivadas hasta el orden dos de una sola función Dependiendo de y con dos posibles orden son
- la pedido y el pedido .
Aquí la notación habitual se utiliza. Si el número de funciones es superior a uno, estos ordenamientos deben generalizarse adecuadamente, por ejemplo, los ordenamientos o se puede aplicar. [7] La primera operación básica que se aplicará para generar una base de Janet es la reducción de una ecuación wrt otro. En términos coloquiales, esto significa lo siguiente: Siempre que una derivada de puede obtenerse de la derivada principal de mediante una diferenciación adecuada, esta diferenciación se realiza y el resultado se resta de . Reducción en un sistema de pde significa reducción en todos los elementos del sistema. Un sistema de pde lineales se llama autoreducido si se han realizado todas las reducciones posibles.
La segunda operación básica para generar una base Janet es la inclusión de condiciones de integrabilidad . Se obtienen de la siguiente manera: Si dos ecuaciones y son tales que mediante diferenciaciones adecuadas se pueden obtener dos nuevas ecuaciones con derivadas principales similares, mediante la multiplicación cruzada con sus coeficientes principales y la resta de las ecuaciones resultantes se obtiene una nueva ecuación, se denomina condición de integrabilidad. Si por reducción de las ecuaciones restantes del sistema no desaparece, se incluye como una nueva ecuación del sistema.
Se puede demostrar que la repetición de estas operaciones siempre termina después de un número finito de pasos con una respuesta única que se llama la base de Janet para el sistema de entrada. Janet los ha organizado en términos del siguiente algoritmo.
Algoritmo de Janet Dado un sistema de polinomios diferenciales lineales, la base de Janet correspondiente a es regresado.
- S1: ( Autoreducción ) Asignar
- S2: ( Finalización ) Asignar
- S3: ( Condiciones de integrabilidad ) Encuentre todos los pares de términos principales de y de tal que la diferenciación sea un no multiplicador y multiplicadores lleva a
y determinar las condiciones de integrabilidad
- S4: ( Reducción de las condiciones de integrabilidad ). Para todos asignar
- S5: ( ¿Terminación? ) Si todo son retorno cero , de lo contrario haz la asignación , reordenar correctamente y vaya a S1
Aquí es un subalgoritmo que devuelve su argumento con todas las posibles reducciones realizadas, agrega ciertas ecuaciones al sistema para facilitar la determinación de las condiciones de integrabilidad. Para ello, las variables se dividen en multiplicadores y no multiplicadores ; los detalles se pueden encontrar en las referencias anteriores. Tras la terminación exitosa, se devolverá una base Janet para el sistema de entrada.
Ejemplo 1 Deje que el sistema ser dado con el pedido y . El paso S1 devuelve el sistema autoreducido
Los pasos S3 y S4 generan la condición de integrabilidad y lo reduce a , es decir, la base de Janet para el sistema dado originalmente es con la solución trivial .
El siguiente ejemplo involucra dos funciones desconocidas y , ambos dependiendo de y .
Ejemplo 2 Considere el sistema
en ordenar. El sistema ya está autoreducido, es decir, el paso S1 lo devuelve sin cambios. El paso S3 genera las dos condiciones de integrabilidad
Tras la reducción en el paso S4, son
En el paso S5 se incluyen en el sistema y los algoritmos comienzan de nuevo con el paso S1 con el sistema ampliado. Después de algunas iteraciones más, finalmente la base de Janet
es obtenido. Da la solución general con dos constantes indeterminadas y .
Aplicación de bases Janet
La aplicación más importante de una base de Janet es su uso para decidir el grado de indeterminación de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales lineales homogéneas. La respuesta en el ejemplo 1 anterior es que el sistema en consideración solo permite la solución trivial. En el segundo ejemplo 2 se obtiene un espacio de solución bidimensional. En general, la respuesta puede ser más complicada, puede haber infinitas constantes libres en la solución general; pueden obtenerse de la descomposición de Loewy de la base de Janet respectiva. [8] Además, la base Janet de un módulo permite leer una base Janet para el módulo syzygy. [5]
El algoritmo de Janet se ha implementado en Maple. [9]
enlaces externos
Referencias
- ^ M. Janet, Les systèmes d'équations aux dérivées partielles , Journal de mathématiques pures et appliquées 8 ser., T. 3 (1920), páginas 65-123.
- ^ F. Schwarz, "Bases de Janet para grupos de simetría" , en: Bases y aplicaciones de Gröbner; Lecture Notes Series 251 , London Mathematical Society, páginas 221–234 (1998); B. Buchberger y F. Winkler, Edts.
- ^ B. Buchberger, Ein algorítmisches Kriterium fuer die Loesbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems, Aequ. Matemáticas. 4 , 374–383 (1970).
- ^ F. Schwarz, Teoría algorítmica de la mentira para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias, Chapman & Hall / CRC, 2007 Capítulo 2.
- ^ a b W. Plesken, D. Robertz, enfoque de Janet a las presentaciones y resoluciones de polinomios y pdes lineales, Archiv der Mathematik 84 , páginas 22-37, 2005.
- ^ T. Oaku, T. Shimoyama, Un método de base de Gröbner para módulos sobre anillos de operadores diferenciales, Journal of Symbolic Computation 18 , páginas 223–248, 1994.
- ^ W. Adams, P. Loustaunau, Introducción a las bases de Gröbner, American Mathematical Society , Providence, 1994.
- ^ F. Schwarz, Descomposición de Loewy de ecuaciones diferenciales lineales, Springer, 2013.
- ^ S. Zhang, Z. Li, Una implementación para el algoritmo de las bases de Janet de ideales diferenciales lineales en el sistema de arce, Acta Mathematicae Applicatae Sinica, Serie en inglés, 20 , páginas 605–616 (2004)