Descomposición de Loewy

En el estudio de las ecuaciones diferenciales , la descomposición de Loewy rompe cada ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO) en lo que se denominan componentes completamente reducibles más grandes. Fue presentado por Alfred Loewy . ^[1]

La resolución de ecuaciones diferenciales es uno de los subcampos más importantes de las matemáticas . Son de particular interés las soluciones en forma cerrada . La división de las EDO en componentes irreducibles más grandes reduce el proceso de resolución de la ecuación original a la resolución de ecuaciones irreducibles del orden más bajo posible. Este procedimiento es algorítmico , por lo que se garantiza la mejor respuesta posible para resolver una ecuación reducible. Se puede encontrar una discusión detallada en. ^[2]

Los resultados de Loewy se han extendido a ecuaciones diferenciales parciales lineales (PDE) en dos variables independientes. De esta manera, se han hecho disponibles métodos algorítmicos para resolver grandes clases de pde lineales.

Dejar que denotan el derivado WRT la variable . Un operador diferencial de orden es un polinomio de la forma ${\ Displaystyle D \ equiv {\ frac {d} {dx}}}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle n}$

donde los coeficientes , son de algún campo de función, el campo base de . Por lo general, es el campo de funciones racionales en la variable , es decir . Si es un indeterminado con , se convierte en un polinomio diferencial y es la ecuación diferencial correspondiente a . ${\ Displaystyle a_ {i}}$ ${\ Displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle a_ {i} \ in {\ mathbb {Q}} (x)}$ ${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \ neq 0}$ ${\ Displaystyle Ly}$ ${\ Displaystyle Ly = 0}$ ${\ Displaystyle L}$