El modelo de Jaynes-Cummings (a veces abreviado JCM ) es un modelo teórico en óptica cuántica . Describe el sistema de un átomo de dos niveles que interactúa con un modo cuantificado de una cavidad óptica (o un campo bosónico ), con o sin la presencia de luz (en forma de un baño de radiación electromagnética que puede causar emisión y absorción espontánea ). Originalmente fue desarrollado para estudiar la interacción de los átomos con el campo electromagnético cuantificado con el fin de investigar los fenómenos de emisión y absorción espontánea de fotones en una cavidad .
El modelo de Jaynes-Cummings es de gran interés para la física atómica , la óptica cuántica , la física del estado sólido y los circuitos de información cuántica , tanto experimental como teóricamente. [1] También tiene aplicaciones en control coherente y procesamiento de información cuántica .
Desarrollo historico
1963: Edwin Jaynes y Fred Cummings
El modelo fue desarrollado originalmente en un artículo de 1963 por Edwin Jaynes y Fred Cummings para dilucidar los efectos de dar un tratamiento completamente mecánico cuántico al comportamiento de los átomos que interactúan con un campo electromagnético . Para simplificar las matemáticas y permitir un cálculo manejable, Jaynes y Cummings restringieron su atención a la interacción de un átomo con un solo modo de campo electromagnético cuántico. [2] [3] (Consulte a continuación para obtener más detalles matemáticos).
Este enfoque contrasta con el método semiclásico anterior, en el que solo la dinámica del átomo se trata mecánicamente cuánticamente, mientras que se supone que el campo con el que interactúa se comporta de acuerdo con la teoría electromagnética clásica. El tratamiento mecánico cuántico del campo en el modelo de Jaynes-Cummings revela una serie de características novedosas, que incluyen:
- La existencia de oscilaciones Rabi entre los estados del sistema de dos niveles al interactuar con el campo cuántico. Originalmente se creía que esto era un efecto puramente mecánico cuántico, aunque más tarde se proporcionó una explicación semiclásica en términos de dispersión lineal y absorción [4].
- Una escalera de niveles de energía cuantificados, llamada escalera de Jaynes-Cummings, que escala en energía de forma no lineal como dónde es el número total de cuantos en el sistema acoplado. Esta cuantificación de energías y escalado no lineal es de naturaleza puramente mecánica cuántica.
- El colapso y posteriores reactivaciones de la probabilidad de detectar el sistema de dos niveles en un estado dado cuando el campo está inicialmente en un estado coherente . Si bien el colapso tiene una explicación clásica simple, los avivamientos solo pueden explicarse por la discreción del espectro de energía debido a la naturaleza cuántica del campo. [5] [6]
Para realizar la dinámica predicha por el modelo de Jaynes-Cummings experimentalmente se requiere un resonador mecánico cuántico con un factor de calidad muy alto para que las transiciones entre los estados en el sistema de dos niveles (típicamente dos subniveles de energía en un átomo) estén muy acoplados fuertemente por la interacción del átomo con el modo de campo. Esto suprime simultáneamente cualquier acoplamiento entre otros subniveles en el átomo y el acoplamiento a otros modos del campo, y por lo tanto hace que las pérdidas sean lo suficientemente pequeñas como para observar la dinámica predicha por el modelo de Jaynes-Cummings. Debido a la dificultad de realizar tal aparato, el modelo siguió siendo una curiosidad matemática durante bastante tiempo. En 1985, varios grupos que utilizaron átomos de Rydberg junto con un máser en una cavidad de microondas demostraron las oscilaciones de Rabi predichas. [7] [8] Sin embargo, como se señaló anteriormente, más tarde se descubrió que este efecto tenía una explicación semiclásica. [4]
1987: Rempe, Walther y Klein
No fue hasta 1987 que Rempe , Walther y Klein finalmente pudieron usar un máser de un solo átomo para demostrar los resurgimientos de probabilidades predichos por el modelo. [9] Antes de ese momento, los grupos de investigación eran incapaces de construir configuraciones experimentales capaces de mejorar el acoplamiento de un átomo con un modo de campo único, suprimiendo simultáneamente otros modos. Experimentalmente, el factor de calidad de la cavidad debe ser lo suficientemente alto para considerar la dinámica del sistema como equivalente a la dinámica de un campo monomodal. Esta exitosa demostración de dinámica que solo podría explicarse mediante un modelo mecánico cuántico del campo estimuló un mayor desarrollo de cavidades de alta calidad para su uso en esta investigación.
Con el advenimiento de los masers de un átomo fue posible estudiar la interacción de un solo átomo (generalmente un átomo de Rydberg ) con un solo modo resonante del campo electromagnético en una cavidad desde un punto de vista experimental, [10] [11] y estudiar diferentes aspectos del modelo de Jaynes-Cummings.
Se encontró que se podría usar una geometría de reloj de arena para maximizar el volumen ocupado por el modo, mientras que simultáneamente se mantiene un factor de alta calidad para maximizar la fuerza de acoplamiento y, por lo tanto, aproximar mejor los parámetros del modelo. [12] Para observar un fuerte acoplamiento átomo-campo en frecuencias de luz visible, los modos ópticos de tipo reloj de arena pueden ser útiles debido a su gran volumen de modo que eventualmente coincide con un fuerte campo dentro de la cavidad. [12] Un punto cuántico dentro de una nanocavidad de cristal fotónico es también un sistema prometedor para observar el colapso y la reactivación de los ciclos de Rabi en las frecuencias de luz visible. [13]
Nuevos desarrollos
Muchos experimentos recientes se han centrado en la aplicación del modelo a sistemas con aplicaciones potenciales en el procesamiento de información cuántica y el control coherente. Varios experimentos han demostrado la dinámica del modelo de Jaynes-Cummings en el acoplamiento de un punto cuántico a los modos de una microcavidad, lo que potencialmente permite su aplicación en un sistema físico de tamaño mucho más pequeño. [14] [15] [16] [17] Otros experimentos se han centrado en demostrar la naturaleza no lineal de la escala de niveles de energía de Jaynes-Cummings mediante observación espectroscópica directa. Estos experimentos han encontrado evidencia directa del comportamiento no lineal predicho a partir de la naturaleza cuántica del campo en ambos circuitos superconductores que contienen un " átomo artificial " acoplado a un oscilador de muy alta calidad en forma de circuito RLC superconductor , y en una colección. de átomos de Rydberg acoplados mediante sus espines . [18] [19] En el último caso, la presencia o ausencia de una excitación colectiva de Rydberg en el conjunto cumple el papel del sistema de dos niveles, mientras que el papel del modo de campo bosónico lo desempeña el número total de giros de giro que tener lugar. [19]
El trabajo teórico ha ampliado el modelo original para incluir los efectos de disipación y amortiguación, generalmente a través de un enfoque fenomenológico. [20] [21] [22] Las extensiones propuestas también han incorporado la inclusión de múltiples modos del campo cuántico, lo que permite el acoplamiento a niveles de energía adicionales dentro del átomo, o la presencia de múltiples átomos que interactúan con el mismo campo. También se ha intentado ir más allá de la llamada aproximación de onda rotatoria que se suele emplear (véase la derivación matemática a continuación) . [23] [24] [25] El acoplamiento de un modo de campo cuántico único con múltiples () Los subsistemas de dos estados (equivalentes a espines superiores a 1/2) se conocen como el modelo de Dicke o el modelo de Tavis-Cummings . Por ejemplo, se aplica a una cavidad resonante de alta calidad que contiene múltiples átomos idénticos con transiciones cerca de la resonancia de la cavidad, o un resonador acoplado a múltiples puntos cuánticos en un circuito superconductor. Se reduce al modelo de Jaynes-Cummings para el caso..
El modelo brinda la posibilidad de realizar varias posibilidades teóricas exóticas en un entorno experimental. Por ejemplo, se descubrió que durante los períodos de oscilaciones Rabi colapsadas, el sistema átomo-cavidad existe en un estado de superposición cuántica a escala macroscópica. Este estado a veces se denomina " gato de Schrödinger ", ya que permite la exploración de los efectos contrarios a la intuición de cómo se manifiesta el entrelazamiento cuántico en los sistemas macroscópicos. [26] También se puede utilizar para modelar cómo se transfiere la información cuántica en un campo cuántico. [27]
Formulación matemática 1
El hamiltoniano que describe el sistema completo,
consiste en el hamiltoniano de campo libre, el hamiltoniano de excitación atómica y el hamiltoniano de interacción de Jaynes-Cummings:
Aquí, por conveniencia, la energía del campo de vacío se establece en .
Para derivar la interacción JCM hamiltoniana, se considera que el campo de radiación cuantificado consta de un único modo bosónico con el operador de campo., donde los operadores y son los operadores bosónicos de creación y aniquilación yes la frecuencia angular del modo. Por otro lado, el átomo de dos niveles equivale a una mitad de espín cuyo estado se puede describir utilizando un vector de Bloch tridimensional . (Debe entenderse que "átomo de dos niveles" aquí no es un átomo real con espín, sino más bien un sistema cuántico genérico de dos niveles cuyo espacio de Hilbert es isomorfo a una mitad de espín.) El átomo está acoplado al campo a través de su operador de polarización. Los operadores y son los operadores de subida y bajada del átomo. El operador es el operador de inversión atómica, y es la frecuencia de transición atómica.
JCM Hamiltoniano
Pasar de la imagen de Schrödinger a la imagen de interacción (también conocida como marco giratorio) definida por la elección, obtenemos
Este hamiltoniano contiene rápidamente y lentamente componentes oscilantes. Para obtener un modelo con solución, los términos "contrarrotantes" que oscilan rápidamente,, se ignoran. Esto se conoce como aproximación de onda rotatoria , y es válido ya que el término de oscilación rápida acopla estados de diferencia de energía comparativamente grande: cuando la diferencia de energía es mucho mayor que el acoplamiento, la mezcla de estos estados será pequeña, o sea de manera diferente, el acoplamiento es responsable de muy poca transferencia de población entre los estados. Transformando de nuevo en la imagen de Schrödinger, el Hamiltoniano de JCM se escribe así como
Eigenstates
Es posible, y a menudo muy útil, escribir el hamiltoniano del sistema completo como una suma de dos partes de conmutación:
dónde
con llamado desafinación (frecuencia) entre el campo y el sistema de dos niveles.
Los autoestados de , siendo de forma de producto tensorial, se resuelven fácilmente y se denotan por , dónde denota el número de cuantos de radiación en el modo.
Como los estados y son degenerados con respecto a para todos , basta con diagonalizar en los subespacios . Los elementos de la matriz de en este subespacio, leer
Para una dada , los valores propios de energía de están
dónde es la frecuencia Rabi para el parámetro de desafinación específico. Los eigenstates asociados con los valores propios de energía están dados por
donde el angulo se define a través de
Dinámica de la imagen de Schrödinger
Ahora es posible obtener la dinámica de un estado general expandiéndola a los estados propios señalados. Consideramos una superposición de estados numéricos como el estado inicial del campo,y suponga que se inyecta en el campo un átomo en estado excitado. El estado inicial del sistema es
Desde el son estados estacionarios del sistema campo-átomo, entonces el vector de estado para tiempos es dado por
Las oscilaciones de Rabi se pueden ver fácilmente en las funciones sin y cos en el vector de estado. Se producen diferentes períodos para diferentes estados numéricos de fotones. Lo que se observa en el experimento es la suma de muchas funciones periódicas que pueden oscilar muy ampliamente y sumar destructivamente a cero en algún momento, pero volverán a ser distintas de cero en momentos posteriores. La finitud de este momento resulta simplemente de la discreción de los argumentos de periodicidad. Si la amplitud del campo fuera continua, el avivamiento nunca habría ocurrido en un tiempo finito.
Dinámica de la imagen de Heisenberg
Es posible en la notación de Heisenberg determinar directamente el operador de evolución unitaria del hamiltoniano: [28]
donde el operador Se define como
y es dado por
La unitaridad de está garantizado por las identidades
y sus conjugados hermitianos.
Mediante el operador de evolución unitaria se puede calcular la evolución temporal del estado del sistema descrito por su matriz de densidad , y a partir de ahí el valor esperado de cualquier observable, dado el estado inicial:
El estado inicial del sistema se denota por y es un operador que denota lo observable.
Formulación matemática 2
Para facilitar la ilustración, considere la interacción de dos subniveles de energía de un átomo con un campo electromagnético cuantificado. El comportamiento de cualquier otro sistema de dos estados acoplado a un campo bosónico será isomorfo a esta dinámica. En ese caso, el hamiltoniano para el sistema de campo átomo es:
- [29]
Donde hemos realizado las siguientes definiciones:
- es el hamiltoniano del átomo, donde las letras se utilizan para indicar el estado excitado y fundamental, respectivamente. Establecer el cero de energía a la energía del estado fundamental del átomo simplifica esto a dónde es la frecuencia de resonancia de las transiciones entre los subniveles del átomo.
- es el hamiltoniano del campo electromagnético cuantificado. Tenga en cuenta la suma infinita de todos los posibles vectores de onda y dos posibles estados de polarización ortogonal . Los operadores y son los operadores de creación y aniquilación de fotones para cada modo indexado del campo. La simplicidad del modelo de Jaynes-Cummings proviene de suprimir esta suma general al considerar solo un modo único del campo, lo que nos permite escribir donde el subíndice indica que estamos considerando solo el modo resonante de la cavidad.
- es la interacción dipolo átomo-campo hamiltoniano (aquí es la posición del átomo). El operador de campo eléctrico de un campo electromagnético cuantificado viene dado por y el operador dipolar viene dado por . Configuración y haciendo la definición , donde el s son los modos de campo ortonormales, podemos escribir , dónde y son los operadores de subida y bajada que actúan en elsubespacio del átomo. La aplicación del modelo de Jaynes-Cummings permite suprimir esta suma y restringir la atención a un solo modo del campo. Así, el hamiltoniano de campo de átomos se convierte en:.
El marco giratorio y la aproximación de onda giratoria
A continuación, el análisis puede simplificarse realizando una transformación pasiva en el denominado marco "co-rotativo". Para hacer esto, usamos la imagen de interacción . Llevar. Entonces la interacción hamiltoniana se convierte en:
Ahora asumimos que la frecuencia de resonancia de la cavidad está cerca de la frecuencia de transición del átomo, es decir, asumimos . Bajo esta condición, los términos exponenciales que oscilan en son casi resonantes, mientras que los otros términos exponenciales oscilan en son casi anti-resonantes. En el tiempoque se necesitan para que los términos resonantes completen una oscilación completa, los términos antirresonantes completarán muchos ciclos completos. Dado que en cada ciclo completode oscilación antirresonante, el efecto neto de los términos antirresonantes que oscilan rápidamente tiende a promediar a 0 para las escalas de tiempo en las que deseamos analizar el comportamiento resonante. Por tanto, podemos descuidar por completo los términos antirresonantes, ya que su valor es insignificante en comparación con el de los términos casi resonantes. Esta aproximación se conoce como aproximación de onda rotatoria y concuerda con la intuición de que la energía debe conservarse. Luego, la interacción hamiltoniana (tomando ser real por simplicidad) es:
Con esta aproximación en la mano (y absorbiendo el signo negativo en ), podemos transformarnos de nuevo a la imagen de Schrödinger:
El hamiltoniano de Jaynes-Cummings
Utilizando los resultados recopilados en las dos últimas secciones, ahora podemos escribir el hamiltoniano de Jaynes-Cummings completo:
- [29]
El término constante representa la energía de punto cero del campo. No contribuirá a la dinámica, por lo que puede descuidarse, dando:
A continuación, defina el llamado operador numérico mediante:
- .
Considere el conmutador de este operador con el campo atómico hamiltoniano:
Por tanto, el operador numérico conmuta con el hamiltoniano de campo atómico. Los estados propios del operador numérico son la base de los estados del producto tensorial donde los estados del campo son los que tienen un número definidode fotones. El operador numéricocuenta el número total de cuantos en el sistema átomo-campo.
En esta base de autoestados de (número total de estados), el hamiltoniano adopta una estructura diagonal de bloques:
- [29]
Con la excepción del escalar , cada en la diagonal es en sí mismo un matriz de la forma;
Ahora, usando la relación:
Obtenemos la porción del hamiltoniano que actúa en el n- ésimo subespacio como:
Al cambiar la energía de a con la cantidad de , podemos obtener
- [29]
donde hemos identificado como la frecuencia Rabi del sistema, yes la llamada "desafinación" entre las frecuencias de la cavidad y la transición atómica. También hemos definido los operadores:
- .
ser el operador de identidad y los operadores xyz de Pauli en el espacio de Hilbert del enésimo nivel de energía del sistema átomo-campo. Así de simpleEl hamiltoniano tiene la misma forma que lo que se encontraría en el problema de Rabi . La diagonalización da los valores propios de energía y los estados propios que son:
- [29] [30]
Donde el angulo está definido por la relación .
Oscilaciones de Rabi de vacío
Considere un átomo que entra en la cavidad inicialmente en su estado excitado, mientras que la cavidad está inicialmente en el estado de vacío . Entonces, el estado del sistema átomo-campo en función del tiempo es:
Entonces, las probabilidades de encontrar el sistema en el suelo o estados excitados después de interactuar con la cavidad por un tiempo están:
- [31]
Por tanto, la amplitud de probabilidad de encontrar el átomo en cualquier estado oscila. Esta es la explicación de la mecánica cuántica para el fenómeno de la oscilación Rabi del vacío . En este caso, había un solo cuanto en el sistema de campo átomo, transportado por el átomo inicialmente excitado. En general, la oscilación Rabi asociada con un sistema de campo átomo de los cuantos tendrán frecuencia . Como se explica a continuación, este espectro discreto de frecuencias es la razón subyacente de las probabilidades de colapsos y posteriores reactivaciones en el modelo.
La escalera de Jaynes-Cummings
Como se muestra en la subsección anterior, si el estado inicial del sistema átomo-cavidad es o , como es el caso de un átomo inicialmente en un estado definido (suelo o excitado) que entra en una cavidad que contiene un número conocido de fotones, entonces el estado del sistema átomo-cavidad en momentos posteriores se convierte en una superposición de los nuevos estados propios del átomo -sistema de cavidades:
Este cambio en los estados propios debido a la alteración del hamiltoniano causado por la interacción átomo-campo se denomina a veces "vestir" al átomo, y los nuevos estados propios se denominan estados vestidos . [29] La diferencia de energía entre los estados vestidos es:
De particular interés es el caso donde la frecuencia de la cavidad es perfectamente resonante con la frecuencia de transición del átomo, por lo que . En el caso resonante, los estados vestidos son:[30]
Con diferencia de energía . Así, la interacción del átomo con el campo divide la degeneración de los estados. y por . Esta jerarquía no lineal de niveles de energía escalando comose conoce como la escalera de Jaynes-Cummings. Este efecto de división no lineal es puramente mecánico cuántico y no puede explicarse mediante ningún modelo semiclásico. [19]
Colapso y reactivación de probabilidades
Considere un átomo inicialmente en el estado fundamental que interactúa con un modo de campo inicialmente preparado en un estado coherente , por lo que el estado inicial del sistema átomo-campo es:
Para simplificar, tome el caso resonante (), Entonces el hamiltoniano para el n º número subespacio es:
Usando esto, la evolución temporal del sistema de campo átomo será:
Tenga en cuenta ninguno de los factores constantes ni contribuyen a la dinámica más allá de una fase general, ya que representan la energía del punto cero. En este caso, la probabilidad de encontrar que el átomo haya pasado al estado excitado en un momento posterior es:
Donde hemos identificado para ser el número medio de fotones en un estado coherente. Si el número medio de fotones es grande, dado que las estadísticas del estado coherente son de Poisson , tenemos que la relación entre la varianza y la media es. Usando este resultado y expandiendo alrededor al orden más bajo que no desaparece en da:
Insertar esto en la suma produce un complicado producto de exponenciales:
Para tiempos "pequeños" como , el exponencial interno dentro del exponencial doble en el último término se puede expandir hacia arriba en segundo orden para obtener:
Este resultado muestra que la probabilidad de ocupación del estado excitado oscila con la frecuencia efectiva. También muestra que debería decaer con el tiempo característico:
- [5] [6] [30]
El colapso puede entenderse fácilmente como una consecuencia de la interferencia destructiva entre los diferentes componentes de frecuencia a medida que se desfasean y comienzan a interferir destructivamente con el tiempo. [30] [31] Sin embargo, el hecho de que las frecuencias tengan un espectro discreto conduce a otro resultado interesante en el régimen de tiempo más largo; en ese caso, la naturaleza periódica del doble exponencial que varía lentamente predice que también debería haber un resurgimiento de la probabilidad en el momento:
- .
La reactivación de la probabilidad se debe al cambio de fase de las distintas frecuencias discretas. Si el campo fuera clásico, las frecuencias tendrían un espectro continuo y tal cambio de fase nunca podría ocurrir dentro de un tiempo finito. [6] [30] [31]
Un gráfico de la probabilidad de encontrar un átomo inicialmente en el estado fundamental para haber pasado al estado excitado después de interactuar con una cavidad preparada en un estado coherente frente al parámetro sin unidades se muestra a la derecha. Nótese el colapso inicial seguido por el claro resurgimiento en tiempos más prolongados.
Colapsos y resurgimientos de oscilaciones cuánticas
Esta gráfica de oscilaciones cuánticas de inversión atómica, para el parámetro de desafinación a escala cuadrática , dónde es el parámetro de desafinación; se construyó sobre la base de fórmulas obtenidas por AA Karatsuba y EA Karatsuba. [32]
Ver también
- Modelo Caldeira-Leggett
- Modelo de Jaynes-Cummings-Hubbard
- Problema de rabi
- Emisión espontánea
- Oscilación Rabi de vacío
Referencias
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Otras lecturas
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