Stevenson nació en 1961 en Hammersmith, Londres. Asistió a Barbara Speake Stage School en su adolescencia y la madre de Phil Collins , June, fue su primer agente.
Comediante y actor, Stevenson apareció en la película Bugsy Malone de 1976 , interpretando el papel de Louis (bajo su nombre real Jeffrey Stevens ).
Más tarde interpretó al comediante Stag en la despedida de soltero de Rodney Trotter en Only Fools and Horses , y también interpretó a PC Parker en To Hull and Back , una película del día de Navidad de Only Fools and Horses .
Stevenson presentó la serie de ITV Knees Up , un programa de variedades ambientado en un pub de Londres que fue una continuación de la primera serie presentada por Chas & Dave . Stevenson también presentó el programa de juegos diurno ITV Jumble , que se desarrolló durante dos series en 1991 y 1992.
Stevenson protagonizó la película Touching the Blue de Joe Wenbourne de 2020 . La película ganó elogios en todo el mundo, incluido un premio para Stevenson al mejor actor de largometraje en Los Angeles World Premiere Film Awards.