Nació en Escocia alrededor de 1776, probablemente en la parroquia de Kilmarnock , y había llegado a Montreal en 1782. En 1778, James Tod lo contrató como empleado en la ciudad de Quebec . Más tarde se inició en el negocio por su cuenta, involucrado en el comercio de pieles y la importación de bienes. En 1796, con Tod y otros, compró los feudos de Grosse-Île y Granville. Se casó con su prima, Margaret Porteous, en 1798; ella murió al año siguiente y su hijo murió cuando aún era muy pequeño. Mure estaba involucrado en un conglomerado de empresas que participaban en el comercio de pieles, abastecía a comerciantes y comerciantes y el transporte marítimo transatlántico . Más tarde se convirtió en socio de laCompañía XY y luego en la Compañía del Noroeste .
Mure también participó en el comercio de madera. En 1799 fue nombrado juez de paz. En 1804, fue elegido miembro de la Asamblea Legislativa del Bajo Canadá por York en el valle de Ottawa ; fue reelegido allí en 1808 y 1809. En 1810, fue elegido miembro de la asamblea legislativa de la Ciudad Baja de Quebec. Fue nombrado miembro del Consejo Ejecutivo en 1812. Mure sirvió como oficial en la milicia local durante la Guerra de 1812 . También se desempeñó como asistente del forense del distrito de Quebec desde 1807 hasta 1811. En 1817, disolvió su compañía y llegó a Glasgow ese mismo año. Murió en Glasgow en 1823.