El Jordan-Wigner transformación es una transformación que mapea giro operadores en fermionic operadores de creación y aniquilación . Pascual Jordan y Eugene Wigner lo propusieron para modelos de celosía unidimensionales , pero ahora también se han creado análogos bidimensionales de la transformación. La transformación de Jordan-Wigner se usa a menudo para resolver exactamente cadenas de espín 1D como los modelos Ising y XY, transformando los operadores de espín en operadores fermiónicos y luego diagonalizando en la base fermiónica.
Esta transformación en realidad muestra que la distinción entre partículas de espín-1/2 y fermiones es inexistente. Puede aplicarse a sistemas con una dimensión arbitraria.
Analogía entre espines y fermiones
En lo que sigue, mostraremos cómo mapear una cadena de espín 1D de partículas de espín-1/2 a fermiones.
Tome los operadores de Pauli spin-1/2 que actúan en un sitio de una cadena 1D, . Tomando el anticonmutador de y , encontramos , como se esperaría de los operadores fermiónicos de creación y aniquilación. Entonces podríamos tener la tentación de establecer
Ahora, tenemos las relaciones fermiónicas correctas en el mismo sitio ; sin embargo, en diferentes sitios, tenemos la relación, dónde y, por lo tanto, los giros en diferentes sitios se desplazan a diferencia de los fermiones que anticonmutan. Debemos remediar esto antes de que podamos tomarnos muy en serio la analogía.
Jordan y Wigner realizaron en 1928 una transformación que recupera las verdaderas relaciones de conmutación de fermiones de los operadores de espín. Este es un ejemplo especial de una transformación de Klein . Tomamos una cadena de fermiones y definimos un nuevo conjunto de operadores.
Se diferencian de los anteriores solo por una fase. . La fase está determinada por el número de modos fermiónicos ocupados en los modosen el campo. La fase es igual a si el número de modos ocupados es par, y si el número de modos ocupados es impar. Esta fase a menudo se expresa como
Donde la segunda igualdad hace uso del hecho de que
Los operadores de espín transformados ahora tienen las relaciones de conmutación de espín apropiadas
La transformación inversa está dada por
Tenga en cuenta que la definición de los operadores fermiónicos no es local con respecto a los operadores bosónicos porque tenemos que tratar con una cadena completa de operadores a la izquierda del sitio con respecto al cual se definen los operadores fermiónicos. Esto también es cierto al revés. Este es un ejemplo de un operador 't Hooft , que es un operador de desorden en lugar de un operador de órdenes . Este también es un ejemplo de una S-dualidad .
Si el sistema tiene más de una dimensión, la transformación aún se puede aplicar. Solo es necesario etiquetar los sitios de forma arbitraria mediante un único índice.
Computación cuántica
La transformación de Jordan-Wigner se puede invertir para mapear un hamiltoniano fermiónico en un hamiltoniano de espín. Una serie de espines equivale a una cadena de qubits para la computación cuántica . Algunos potenciales moleculares pueden simularse de manera eficiente mediante una computadora cuántica utilizando esta transformación. [1]
Ver también
Referencias
- ^ NIelsen, Michael (29 de julio de 2005). "Las relaciones de conmutación canónica fermiónica y la transformación de Jordan-Wigner" (PDF) . michaelnielsen.org .
Otras lecturas
- Michael Nielsen, Notas sobre la transformación de Jordan-Wigner en Wayback Machine (archivado el 3 de noviembre de 2019)
- Piers Coleman, ejemplos sencillos de segunda cuantificación