Modelo clásico XY

Modelo de celosía de mecánica estadística

El modelo XY clásico (a veces también llamado modelo de rotor clásico ( rotador ) o modelo O (2) ) es un modelo de celosía de mecánica estadística . En general, el modelo XY puede verse como una especialización del modelo n -vectorial de Stanley ^[1] para n = 2 .

Definición

Dado un retículo D -dimensional Λ , por cada sitio de retículo j ∈ Λ hay un vector bidimensional de longitud unitaria s _j = (cos θ _j , sin θ _j )

La configuración de giro , s = ( s _j ) _{j ∈ Λ} es una asignación del ángulo - π < θ _j ≤ π para cada j ∈ Λ .

Dada una interacción invariante en traslación J _ij = J ( i - j ) y un campo externo dependiente del punto , la energía de configuración es${\displaystyle \mathbf {h} _{j}=(h_{j},0)}$

${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-\sum _{j}\mathbf {h} _{j}\cdot \mathbf {s} _{j}=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\cos(\theta _{i}-\theta _{j})-\sum _{j}h_{j}\cos \theta _{j}}$

El caso en el que J _ij = 0 excepto ij vecino más cercano se llama caso de vecino más cercano .

La probabilidad de configuración viene dada por la distribución de Boltzmann con temperatura inversa β ≥ 0 :

${\displaystyle P(\mathbf {s} )={\frac {e^{-\beta H(\mathbf {s} )}}{Z}}\qquad Z=\int _{[-\pi ,\pi ]^{\Lambda }}\prod _{j\in \Lambda }d\theta _{j}\;e^{-\beta H(\mathbf {s} )}.}$

donde Z es la normalización o función de partición . ^[2] La notación indica la expectativa de la variable aleatoria A ( s ) en el límite de volumen infinito, después de que se hayan impuesto condiciones de contorno periódicas .${\displaystyle \langle A(\mathbf {s} )\rangle }$

Resultados rigurosos

• Ginibre demostró la existencia del límite termodinámico para las correlaciones de energía libre y espín , extendiendo a este caso la desigualdad de Griffiths . ^[3]
• Utilizando la desigualdad de Griffiths en la formulación de Ginibre, Aizenman y Simon ^[4] demostraron que la correlación de espín de dos puntos del modelo ferromagnético XY en la dimensión D , el acoplamiento J > 0 y la temperatura inversa β está dominada por (es decir, tiene un límite superior dado por) la correlación de dos puntos del modelo de Ising ferromagnético en la dimensión D , el acoplamiento J > 0 y la temperatura inversa β / 2

${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$

Por lo tanto, la β crítica del modelo XY no puede ser menor que el doble de la temperatura crítica del modelo de Ising.

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}}$

Una dimensión

Como en cualquier modelo de n- vector de 'vecino más cercano' con condiciones de contorno libres (no periódicas), si el campo externo es cero, existe una solución exacta simple. En el caso de condiciones de contorno libre, el hamiltoniano es

${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-J[\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+\cdots +\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})]}$

por lo tanto, la función de partición factoriza bajo el cambio de coordenadas

${\displaystyle \theta _{j}=\theta _{j}'+\theta _{j-1}\qquad j\geq 2}$

Esto da

${\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\int _{-\pi }^{\pi }d\theta _{1}\cdots d\theta _{L}\;e^{\beta J\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}\cdots e^{\beta J\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})}\\&=2\pi \prod _{j=2}^{L}\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}=(2\pi )\left[\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}\right]^{L-1}=(2\pi )^{L}(I_{0}(\beta J))^{L-1}\end{aligned}}}$

donde está la función de Bessel modificada del primer tipo. La función de partición se puede utilizar para encontrar varias cantidades termodinámicas importantes. Por ejemplo, en el límite termodinámico ( ), la energía libre por giro es${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle L\to \infty }$

${\displaystyle f(\beta ,h=0)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z=-{\frac {1}{\beta }}\ln[2\pi I_{0}(\beta J)]}$

Usando las propiedades de las funciones de Bessel modificadas, el calor específico (por giro) se puede expresar como ^[5]

${\displaystyle {\frac {c}{k_{\rm {B}}}}=\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{L(k_{\rm {B}}T)^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}(\ln Z)=K^{2}\left(1-{\frac {\mu }{K}}-\mu ^{2}\right)}$

donde , y es la función de correlación de corto alcance, ${\displaystyle K=J/k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \mu }$

Calor específico exacto por giro en el modelo XY unidimensional

${\displaystyle \mu (K)=\langle \cos(\theta -\theta ')\rangle ={\frac {I_{1}(K)}{I_{0}(K)}}}$

Incluso en el límite termodinámico, no hay divergencia en el calor específico. De hecho, al igual que el modelo Ising unidimensional, el modelo XY unidimensional no tiene transiciones de fase a temperatura finita.

El mismo cálculo para la condición de contorno periódica (y aún h = 0 ) requiere el formalismo de la matriz de transferencia , aunque el resultado es el mismo. ^[6]

(Haga clic en "mostrar" a la derecha para ver los detalles del formalismo de la matriz de transferencia).

La función de partición se puede evaluar como

${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\prod _{i=1}^{N}\oint d\theta _{i}e^{\beta J\cos(\theta _{i}-\theta _{i+1})}\right\}}$

que puede tratarse como la traza de una matriz, es decir, un producto de matrices (escalares, en este caso). La traza de una matriz es simplemente la suma de sus valores propios, y en el límite termodinámico solo sobrevivirá el valor propio más grande, por lo que la función de partición se puede escribir como un producto repetido de este valor propio máximo. Esto requiere resolver el problema de los valores propios${\displaystyle L\to \infty }$

${\displaystyle \oint d\theta '\exp\{\beta J\cos(\theta '-\theta )\}\psi (\theta ')=z_{i}\psi (\theta )}$

Tenga en cuenta la expansión

${\displaystyle \exp\{\beta J\cos(\theta -\theta ')\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(\beta J)e^{in(\theta -\theta ')}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\omega _{n}\psi _{n}^{*}(\theta ')\psi _{n}(\theta )}$

que representa una representación de matriz diagonal en la base de sus funciones propias de onda plana . Los valores propios de la matriz son simplemente funciones de Bessel modificadas evaluadas en , a saber . Para cualquier valor particular de , estas funciones de Bessel modificadas satisfacen y . Por lo tanto, en el límite termodinámico, el valor propio dominará la traza, y así .${\displaystyle \psi =\exp(in\theta )}$${\displaystyle \beta J}$${\displaystyle \omega _{n}=2\pi I_{n}(\beta J)}$${\displaystyle \beta J}$${\displaystyle I_{0}>I_{1}>I_{2}>\cdots }$${\displaystyle I_{-n}(\beta J)=I_{n}(\beta J)}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle Z=[2\pi I_{0}(\beta J)]^{L}}$

Este enfoque de matriz de transferencia también es necesario cuando se utilizan condiciones de contorno libre, pero con un campo aplicado . Si el campo aplicado es lo suficientemente pequeño como para tratarlo como una perturbación del sistema en campo cero, entonces se puede estimar la susceptibilidad magnética . Esto se hace utilizando los estados propios calculados por el enfoque de la matriz de transferencia y calculando el desplazamiento de energía con la teoría de perturbación de segundo orden , luego comparándolo con la expansión de energía libre . Uno encuentra ^[7]${\displaystyle h\neq 0}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \chi \equiv \partial M/\partial h}$${\displaystyle F=F_{0}-{\frac {1}{2}}\chi h^{2}}$

${\displaystyle \chi (h\to 0)={\frac {C}{T}}{\frac {1+\mu }{1-\mu }}}$

donde es la constante de Curie (un valor típicamente asociado con la susceptibilidad en materiales magnéticos). Esta expresión también es válida para el modelo Ising unidimensional, con el reemplazo .${\displaystyle C}$${\displaystyle \mu =\tanh K}$

Dos dimensiones

Mganetización cuadrática media para una celosía de 25x25 (Ota: ^[8] 30x30), lo que sugiere un aumento del momento magnético que no está presente en el límite termodinámico.

El modelo XY bidimensional con interacciones del vecino más cercano es un ejemplo de un sistema bidimensional con simetría continua que no tiene un orden de largo alcance como lo requiere el teorema de Mermin-Wagner . Asimismo, no existe una transición de fase convencional presente que se asociaría con la ruptura de la simetría . Sin embargo, como se discutirá más adelante, el sistema muestra signos de una transición de un estado desordenado de alta temperatura a un estado cuasi ordenado por debajo de una temperatura crítica, llamado transición Kosterlitz-Thouless.. En el caso de una red discreta de espines, el modelo XY bidimensional se puede evaluar utilizando el enfoque de la matriz de transferencia, reduciendo el modelo a un problema de valor propio y utilizando el valor propio más grande de la matriz de transferencia. Aunque la solución exacta es intratable, es posible utilizar ciertas aproximaciones para obtener estimaciones de la temperatura crítica que se produce a bajas temperaturas. Por ejemplo, Mattis (1984) utilizó una aproximación a este modelo para estimar una temperatura crítica del sistema como${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle (2k_{\rm {B}}T_{c}/J)\ln(2k_{\rm {B}}T_{c}/J)=1}$

${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.8816}$

El modelo 2D XY también se ha estudiado con gran detalle utilizando simulaciones de Monte Carlo , por ejemplo, con el algoritmo Metropolis . Estos se pueden usar para calcular cantidades termodinámicas como la energía del sistema, el calor específico, la magnetización, etc., en un rango de temperaturas y escalas de tiempo. En la simulación de Monte Carlo, cada giro está asociado a un ángulo que varía continuamente (a menudo, se puede discretizar en un número finito de ángulos, como en el modelo de Potts relacionado , para facilitar el cálculo. Sin embargo, esto no es un requisito). En cada paso de tiempo, el algoritmo de Metropolis elige un giro al azar y rota su ángulo en un incremento aleatorio . Este cambio de ángulo provoca un cambio en la energía${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \Delta \theta _{i}\in (-\Delta ,\Delta )}$${\displaystyle \Delta E_{i}}$del sistema, que puede ser positivo o negativo. Si es negativo, el algoritmo acepta el cambio de ángulo; si es positivo, la configuración se acepta con probabilidad , el factor de Boltzmann para el cambio de energía. El método de Monte Carlo se ha utilizado para verificar, con varios métodos, la temperatura crítica del sistema, y ​​se estima en ^[9] . El método Monte Carlo también puede calcular valores promedio que se utilizan para calcular cantidades termodinámicas como magnetización, correlación espín-espín, longitudes de correlación y calor específico. Estas son formas importantes de caracterizar el comportamiento del sistema cerca de la temperatura crítica. La magnetización y la magnetización al cuadrado, por ejemplo, se pueden calcular como ${\displaystyle e^{-\beta \Delta E_{i}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J=0.8935(1)}$

Calor específico del XY bidimensional utilizando una simulación de Monte Carlo, que muestra una característica en , por encima de la transición KT${\displaystyle k_{\rm {B}}T/J\approx 1.1}$

${\displaystyle {\frac {\langle M\rangle }{N}}={\frac {1}{N}}|\langle \mathbf {s} \rangle |={\frac {1}{N}}{\Bigg |}\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i},\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)\right\rangle {\Bigg |}}$

${\displaystyle {\frac {\langle M^{2}\rangle }{N^{2}}}={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle s_{x}^{2}+s_{y}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)^{2}\right\rangle }$

donde están el número de giros. La magnetización media caracteriza la magnitud del momento magnético neto del sistema; en muchos sistemas magnéticos esto es cero por encima de una temperatura crítica y se vuelve diferente de cero espontáneamente a bajas temperaturas. De manera similar, la magnetización cuadrática media caracteriza el promedio del cuadrado de los componentes netos de los espines a través de la red. Cualquiera de estos se usa comúnmente para caracterizar el parámetro de orden de un sistema. Un análisis riguroso del modelo XY muestra que la magnetización en el límite termodinámico es cero, y que la magnetización cuadrada sigue aproximadamente ^[10]${\displaystyle N=L\times L}$ ${\displaystyle \langle M^{2}\rangle \approx N^{-T/4\pi }}$, que se desvanece en el límite termodinámico. De hecho, a altas temperaturas, esta cantidad se acerca a cero, ya que los componentes de los giros tenderán a ser aleatorios y, por lo tanto, sumarán cero. Sin embargo, a bajas temperaturas para un sistema finito, la magnetización cuadrática media aumenta, lo que sugiere que hay regiones del espacio de espín que están alineadas para contribuir a una contribución distinta de cero. La magnetización que se muestra (para una red de 25x25) es un ejemplo de esto, que parece sugerir una transición de fase, mientras que no existe tal transición en el límite termodinámico.

Además, utilizando la mecánica estadística, se pueden relacionar los promedios termodinámicos con cantidades como el calor específico calculando

${\displaystyle c/k_{\rm {B}}={\frac {\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}}{N(k_{\rm {B}}T)^{2}}}}$

El calor específico se muestra a bajas temperaturas cercanas a la temperatura crítica . No hay ninguna característica en el calor específico consistente con una característica crítica (como una divergencia) a esta temperatura pronosticada. De hecho, la estimación de la temperatura crítica proviene de otros métodos, como el módulo de helicidad o la dependencia de la temperatura de la divergencia de susceptibilidad. ^[11] Sin embargo, hay una característica en el calor específico en forma de pico cercano . Se ha demostrado que esta posición y altura de pico dependen del tamaño del sistema; ^[12] sin embargo, la característica permanece finita para todos los tamaños de celosía y parece converger a un valor finito (aunque no se ha descartado que la característica sea una cúspide, esto es poco probable).${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.88}$${\displaystyle 1.1k_{\rm {B}}T/J}$

La naturaleza de las transiciones críticas y la formación de vórtices se puede dilucidar considerando una versión continua del modelo XY. Aquí, los giros discretos se reemplazan por un campo que representa el ángulo del giro en cualquier punto del espacio. En este caso, el ángulo de los giros debe variar suavemente con los cambios de posición. Al expandir el coseno original como una serie de Taylor, el hamiltoniano se puede expresar en la aproximación del continuo como ${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$

${\displaystyle E=\int {\frac {J}{2}}(\nabla \theta )^{2}\,d^{2}{\textbf {x}}}$

Mapa de colores del modelo XY bidimensional (discreto) en una celosía de 250x250 en . Cada giro está representado por un color que corresponde a un ángulo entre${\displaystyle k_{\rm {B}}T/J=0.4}$${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

La versión continua del modelo XY se utiliza a menudo para modelar sistemas que poseen parámetros de orden con los mismos tipos de simetría, por ejemplo , helio superfluido , cristales líquidos hexáticos . Esto es lo que los hace peculiares de otras transiciones de fase que siempre van acompañadas de una ruptura de simetría. Los defectos topológicos en el modelo XY conducen a una transición de desvinculación del vórtice de la fase de baja temperatura a la fase desordenada de alta temperatura . De hecho, el hecho de que a altas temperaturas las correlaciones decaigan exponencialmente rápido, mientras que a bajas temperaturas decaen con la ley de potencia, aunque en ambos regímenes M ( β ) = 0 , se llama transición Kosterlitz-Thouless. Kosterlitz y Thouless proporcionaron un argumento simple de por qué este sería el caso: esto considera el estado fundamental que consta de todos los espines en la misma orientación, con la adición de un solo vórtice. La presencia de estos contribuye a una entropía de aproximadamente , donde es una escala de longitud efectiva (por ejemplo, el tamaño de la red para una red discreta) Mientras tanto, la energía del sistema aumenta debido al vórtice, en una cantidad . Al juntarlos, la energía libre de un sistema cambiaría debido a la formación espontánea de un vórtice en una cantidad${\displaystyle \Delta S=k_{\rm {B}}\ln(L^{2}/a^{2})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \Delta E=\pi J\ln(L/a)}$

${\displaystyle \Delta F=\Delta E-T\Delta S=(\pi J-2k_{\rm {B}}T)\ln(L/a)}$

En el límite termodinámico, el sistema no favorece la formación de vórtices a bajas temperaturas, pero sí los favorece a altas temperaturas, por encima de la temperatura crítica . Esto indica que a bajas temperaturas, cualquier vórtice que surja querrá aniquilarse con antívoros para disminuir la energía del sistema. De hecho, este será el caso cualitativamente si se observan 'instantáneas' del sistema de giro a bajas temperaturas, donde los vórtices y los antívoros se unen gradualmente para aniquilarse. Por lo tanto, el estado de baja temperatura consistirá en pares de vórtice-antivortex unidos. Mientras tanto, a altas temperaturas, habrá una colección de vórtices y antivortices libres que pueden moverse libremente por el avión.${\displaystyle T_{c}=\pi J/2k_{\rm {B}}}$

Para visualizar el modelo de Ising, se puede utilizar una flecha que apunta hacia arriba o hacia abajo, o representada como un punto de color blanco / negro para indicar su estado. Para visualizar el sistema de giro XY, los giros se pueden representar como una flecha que apunta en alguna dirección, o como un punto con algún color. Aquí es necesario representar el giro con un espectro de colores debido a cada una de las posibles variables continuas. Esto se puede hacer usando, por ejemplo, un espectro rojo-verde-azul continuo y periódico. Como se muestra en la figura, el cian corresponde a un ángulo cero (apuntando hacia la derecha), mientras que el rojo corresponde a un ángulo de 180 grados (apuntando hacia la izquierda). Luego, se pueden estudiar instantáneas de las configuraciones de giro a diferentes temperaturas para dilucidar qué sucede por encima y por debajo de la temperatura crítica del modelo XY. A altas temperaturas,los giros no tendrán una orientación preferida y habrá una variación impredecible de ángulos entre giros vecinos, ya que no habrá una configuración energéticamente favorable preferida. En este caso, el mapa de colores se verá muy pixelado. Mientras tanto, a bajas temperaturas, una posible configuración del estado fundamental tiene todos los espines apuntando en la misma orientación (mismo ángulo); estos corresponderían a regiones (dominios) del mapa de color donde todos los giros tienen aproximadamente el mismo color.estos corresponderían a regiones (dominios) del mapa de color donde todos los giros tienen aproximadamente el mismo color.estos corresponderían a regiones (dominios) del mapa de color donde todos los giros tienen aproximadamente el mismo color.

Varias formas de vórtices y antivortices, que se muestran en una simulación de Monte Carlo en ${\displaystyle k_{\rm {B}}T/J=0.4}$

Para identificar vórtices (o antivortices) presentes como resultado de la transición Kosterlitz-Thouless, se puede determinar el cambio con signo de ángulo atravesando un círculo de puntos de celosía en sentido antihorario. Si el cambio total de ángulo es cero, esto corresponde a que no hay ningún vórtice presente; mientras que un cambio total en el ángulo de${\displaystyle \pm 2\pi }$corresponde a un vórtice (o antivortex). Estos vórtices son objetos topológicamente no triviales que vienen en pares vórtice-antivortex, que pueden separarse o emparejarse-aniquilarse. En el mapa de colores, estos defectos se pueden identificar en regiones donde hay un gran gradiente de color donde todos los colores del espectro se encuentran alrededor de un punto. Cualitativamente, estos defectos pueden verse como fuentes de flujo que apuntan hacia adentro o hacia afuera, o remolinos de giros que colectivamente en sentido horario o antihorario, o características de aspecto hiperbólico con algunos giros apuntando hacia y algunos giros apuntando hacia afuera del defecto. Como la configuración se estudia a escalas de tiempo prolongadas y a bajas temperaturas, se observa que muchos de estos pares vórtice-antivortex se acercan y finalmente se aniquilan en pares.Es solo a altas temperaturas que estos vórtices y antivortices se liberan y se separan entre sí.

En el modelo XY continuo, la magnetización espontánea de alta temperatura desaparece:

${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$

Además, la expansión del clúster muestra que las correlaciones de espín se agrupan exponencialmente rápido: por ejemplo

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$

A bajas temperaturas, es decir, β ≫ 1 , la magnetización espontánea permanece cero (ver el teorema de Mermin-Wagner ),

${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$

pero la decadencia de las correlaciones es solo ley de potencia: Fröhlich y Spencer ^[13] encontraron el límite inferior

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\geq {\frac {C(\beta )}{1+|i-j|^{\eta (\beta )}}}}$

mientras que McBryan y Spencer encontraron el límite superior, para cualquier ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq {\frac {C(\beta ,\epsilon )}{1+|i-j|^{\eta (\beta ,\epsilon )}}}}$

Tres y mayores dimensiones

Independientemente del rango de interacción, a una temperatura suficientemente baja, la magnetización es positiva.

• A alta temperatura, la magnetización espontánea desaparece: . Además, la expansión del clúster muestra que las correlaciones de espín se agrupan exponencialmente rápido: por ejemplo .${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$
• A baja temperatura, infrarrojo encuadernados muestra que la magnetización espontánea es estrictamente positivo: . Además, existe una familia de estados extremos de 1 parámetro , tal que , pero, conjeturalmente, en cada uno de estos estados extremos las correlaciones truncadas decaen algebraicamente.${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |>0}$${\displaystyle \langle \;\cdot \;\rangle ^{\theta }}$${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\rangle ^{\theta }=M(\beta )(\cos \theta ,\sin \theta )}$

Transición de fase

Como se mencionó anteriormente, en una dimensión, el modelo XY no tiene una transición de fase, mientras que en dos dimensiones tiene la transición Berezinski-Kosterlitz-Thouless entre las fases con funciones de correlación decrecientes exponencialmente y de ley de potencia.

En tres dimensiones y superiores, el modelo XY tiene una transición de fase ferromagnet-paramagnet. A bajas temperaturas, la magnetización espontánea es distinta de cero: esta es la fase ferromagnética. A medida que aumenta la temperatura, la magnetización espontánea disminuye gradualmente y desaparece a una temperatura crítica. Permanece cero a todas las temperaturas más altas: esta es la fase paramagnética.

En cuatro dimensiones y superiores, la transición de fase tiene exponentes críticos de teoría de campo medio (con correcciones logarítmicas en cuatro dimensiones).

Caso tridimensional: los exponentes críticos

El caso tridimensional es interesante porque los exponentes críticos en la transición de fase no son triviales. Muchos sistemas físicos tridimensionales pertenecen a la misma clase de universalidad que el modelo XY tridimensional y comparten los mismos exponentes críticos, sobre todo los imanes de plano fácil y el helio-4 líquido . Los valores de estos exponentes críticos se miden mediante experimentos, simulaciones de Monte Carlo y también se pueden calcular mediante métodos teóricos de la teoría cuántica de campos, como el grupo de renormalización y el bootstrap conforme.. Los métodos del grupo de renormalización son aplicables porque se cree que el punto crítico del modelo XY está descrito por un punto fijo del grupo de renormalización. Los métodos de bootstrap conformales son aplicables porque también se cree que es una teoría de campo conformal tridimensional unitaria .

Los exponentes críticos más importantes del modelo XY tridimensional son . Todos ellos se pueden expresar mediante dos números: las dimensiones de escala y del campo de parámetro de orden complejo y del operador singlete principal (igual que en la descripción de Ginzburg-Landau ). Otro campo importante es (igual que ), cuya dimensión determina el exponente de corrección a escala . Según un cálculo de bootstrap conforme, ^[14] estas tres dimensiones vienen dadas por: ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\nu ,\eta }$${\displaystyle \Delta _{\phi }}$${\displaystyle \Delta _{s}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle |\phi |^{2}}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle |\phi |^{4}}$${\displaystyle \Delta _{s'}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Delta _{\phi }}$	0.519088 (22)
${\displaystyle \Delta _{s}}$	1.51136 (22)
${\displaystyle \Delta _{s'}}$	3.794 (8)

Esto da los siguientes valores de los exponentes críticos:

	expresión general ( )${\displaystyle d=3}$	valor numérico
α	${\displaystyle 2-d/(d-\Delta _{s})}$	-0,01526 (30)
β	${\displaystyle \Delta _{\phi }/(d-\Delta _{s})}$	0.34869 (7)
γ	${\displaystyle (d-2\Delta _{\phi })/(d-\Delta _{s})}$	1.3179 (2)
δ	${\displaystyle (d-\Delta _{\phi })/\Delta _{\phi }}$	4.77937 (25)
η	${\displaystyle 2\Delta _{\phi }-d+2}$	0.038176 (44)
ν	${\displaystyle 1/(d-\Delta _{s})}$	0.67175 (10)
ω	${\displaystyle \Delta _{s'}-d}$	0,794 (8)

Los métodos de Monte Carlo dan determinaciones compatibles: ^[15] .${\displaystyle \eta =0.03810(8),\nu =0.67169(7),\omega =0.789(4)}$

Ver también

• Modelo clásico de Heisenberg
• Bosón de Goldstone
• Modelo de ising
• Modelo de potts
• modelo n -vector
• Transición de Kosterlitz-Thouless
• Defecto topológico
• Película superfluida
• Modelo sigma

Notas

1. Stanley, ÉL (1968). "Dependencia de las propiedades críticas sobre la dimensionalidad de los espines". Phys. Rev. Lett . 20 (12): 589–592. Código Bibliográfico : 1968PhRvL..20..589S . doi : 10.1103 / PhysRevLett.20.589 .
2. Chaikin, PM; Lubensky, TC (2000). Principios de la física de la materia condensada . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521794503.
3. Ginibre, J. (1970). "Formulación general de las desigualdades de Griffiths". Comm. Matemáticas. Phys . 16 (4): 310–328. Código Bibliográfico : 1970CMaPh..16..310G . doi : 10.1007 / BF01646537 . S2CID 120649586 . 
4. Aizenman, M .; Simon, B. (1980). "Una comparación de los modelos de rotor plano y Ising". Phys. Letón. Una . 76 (3–4): 281–282. Código bibliográfico : 1980PhLA ... 76..281A . doi : 10.1016 / 0375-9601 (80) 90493-4 .
5. Badalian, D. (1996). "Sobre la termodinámica de espines clásicos con interacción isotrópica de Heisenberg en estructuras cuasi-periódicas unidimensionales". Physica B . 226 (4): 385–390. Código Bibliográfico : 1996PhyB..226..385B . doi : 10.1016 / 0921-4526 (96) 00283-9 .
6. Mattis, DC (1984). "Matriz de transferencia en modelo plano-rotador". Phys. Lett . 104 A (6–7): 357–360. Código Bibliográfico : 1984PhLA..104..357M . doi : 10.1016 / 0375-9601 (84) 90816-8 .
7. Mattis, DC (1985). La teoría del magnetismo II . Serie Springer en Física del Estado Sólido. ISBN 978-3-642-82405-0.
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9. Hsieh, Y.-D .; Kao, Y.-J .; Sandvik, AW (2013). "Método de escala de tamaño finito para la transición Berezinskii-Kosterlitz-Thouless". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 2013 (9): P09001. arXiv : 1302.2900 . Código bibliográfico : 2013JSMTE..09..001H . doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2013/09 / P09001 . S2CID 118609225 . 
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14. Chester, Shai M .; Landry, Walter; Liu, Junyu; Polonia, David; Simmons-Duffin, David; Su, Ning; Vichi, Alessandro (2020). "Tallado de espacios OPE y exponentes críticos del modelo O (2) preciso" . Revista de Física de Altas Energías . 2020 (6): 142. arXiv : 1912.03324 . Código Bib : 2020JHEP ... 06..142C . doi : 10.1007 / JHEP06 (2020) 142 . ISSN 1029-8479 . S2CID 208910721 .  
15. Hasenbusch, Martin (26 de diciembre de 2019). "Estudio de Monte Carlo de un modelo de reloj mejorado en tres dimensiones" . Physical Review B . 100 (22): 224517. arXiv : 1910.05916 . Código Bibliográfico : 2019PhRvB.100v4517H . doi : 10.1103 / PhysRevB.100.224517 . ISSN 2469-9950 . S2CID 204509042 .  

Referencias

• Evgeny Demidov, Vórtices en el modelo XY (2004)

Otras lecturas

• HE Stanley, Introducción a las transiciones de fase y fenómenos críticos , (Oxford University Press, Oxford y Nueva York 1971);
• H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , vol. I, "LÍNEAS DE SUPERFLOW Y VORTEX", págs. 1-742, vol. II, "ESTRÉS Y DEFECTOS", págs. 743–1456, World Scientific (Singapur, 1989) ; Tapa blanda ISBN 9971-5-0210-0 (también disponible en línea: Vol. I y Vol. II ) 

enlaces externos

• simulación WebGL del modelo XY en tiempo real
• Simulación interactiva de Monte Carlo de los modelos Ising, XY y Heisenberg con gráficos 3D (requiere un navegador compatible con WebGL)