Lema de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz

El lema de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz es un resultado básico en la teoría matemática del punto fijo publicado en 1929 por Knaster , Kuratowski y Mazurkiewicz . ^[1]

El lema KKM se puede demostrar a partir del lema de Sperner y se puede utilizar para demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer .

Sea un símplex -dimensional con n vértices etiquetados como .${\ estilo de visualización \ Delta _ {n-1}}$${\ estilo de visualización (n-1)}$ ${\ estilo de visualización 1, \ ldots, n}$

Una cubierta KKM se define como un conjunto de conjuntos cerrados tales que para cualquier , el casco convexo de los vértices correspondientes a está cubierto por .${\displaystyle C_{1},\ldots,C_{n}}$${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots,n\}}$${\ estilo de visualización yo}$${\displaystyle \bigcup_{i\in I}C_{i}}$

El lema KKM dice que en cada cubierta KKM, la intersección común de todos los n conjuntos no está vacía , es decir:

Cuando , el lema KKM considera el símplex que es un triángulo, cuyos vértices se pueden etiquetar 1, 2 y 3. Nos dan tres conjuntos cerrados tales que:${\ estilo de visualización n = 3}$${\ estilo de visualización \ Delta _ {2}}$${\ estilo de visualización C_{1},C_{2},C_{3}}$

Un ejemplo de una cubierta que satisface los requisitos del lema KKM

Una ilustración del lema KKM generalizado de Bapat