En matemáticas , el teorema de Kachurovskii es un teorema que relaciona la convexidad de una función en un espacio de Banach con la monotonicidad de su derivada de Fréchet .
Declaración del teorema
Sea K un subconjunto convexo de un espacio de Banach V y sea f : K → R ∪ {+ ∞} una función extendida de valor real que es diferenciable de Fréchet con derivada d f ( x ): V → R en cada punto x en K . (De hecho, d f ( x ) es un elemento del espacio dual continuo V ∗ .) Entonces los siguientes son equivalentes:
- f es una función convexa;
- para todos los x y y en K ,
- d f es un (en aumento) operador monótona, es decir, para todos los x y y en K ,
Referencias
- Kachurovskii, IR (1960). "Sobre operadores monótonos y funcionales convexos". Uspekhi Mat. Nauk . 15 (4): 213–215.
- Showalter, Ralph E. (1997). Operadores monótonos en el espacio de Banach y ecuaciones diferenciales parciales no lineales . Estudios y monografías de matemáticas 49. Providence, RI: American Mathematical Society. págs. 80 . ISBN 0-8218-0500-2. SEÑOR1422252 (Proposición 7.4)