En matemáticas , la derivada de Fréchet es una derivada definida en espacios normativos . Nombrado en honor a Maurice Fréchet , se usa comúnmente para generalizar la derivada de una función con valor real de una sola variable real al caso de una función con valor vectorial de múltiples variables reales, y para definir la derivada funcional que se usa ampliamente en el cálculo de variaciones .
Generalmente, extiende la idea de la derivada de funciones con valores reales de una variable real a funciones en espacios normativos. La derivada de Fréchet debe contrastarse con la derivada más general de Gateaux, que es una generalización de la derivada direccional clásica .
La derivada de Fréchet tiene aplicaciones a problemas no lineales a través del análisis matemático y las ciencias físicas, particularmente al cálculo de variaciones y gran parte del análisis no lineal y el análisis funcional no lineal .
Definición
Deje que V y W sean espacios vectoriales normados , yser un subconjunto abierto de V . Una función f : U → W se llama diferenciable de Fréchet ensi existe un operador lineal acotado tal que
El límite aquí se entiende en el sentido habitual de un límite de una función definida en un espacio métrico (ver Funciones en espacios métricos ), usando V y W como los dos espacios métricos, y la expresión anterior como la función del argumento h en V . Como consecuencia, debe existir para todas las secuencias. de elementos distintos de cero de V que convergen al vector ceroDe manera equivalente, la expansión de primer orden se mantiene, en notación de Landau
Si existe tal operador A , es único, por lo que escribimosy llámelo la derivada de Fréchet de f en x . Una función f que es derivable de Fréchet para cualquier punto de U se dice que es C 1 si la función
es continuo denota el espacio de todos los operadores lineales acotados de a ). Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que requerir que el mapa ser continuo para cada valor de (que se supone; acotado y continuo son equivalentes).
Esta noción de derivada es una generalización de la derivada ordinaria de una función en números reales. ya que los mapas lineales de a son solo multiplicaciones por un número real. En este caso, Df ( x ) es la función.
Propiedades
Una función diferenciable en un punto es continua en ese punto.
La diferenciación es una operación lineal en el sentido siguiente: si f y g son dos mapas V → W que son diferenciable en x , y c es un escalar (un real o número complejo ), entonces el obedece derivados Fréchet las siguientes propiedades:
La regla de la cadena también es válida en este contexto: si f : U → Y es diferenciable en x ∈ U , y g : Y → W es diferenciable en y = f ( x ) , entonces la composición g ∘ f es diferenciable en x y el derivado es la composición de los derivados:
Dimensiones finitas
La derivada de Fréchet en espacios de dimensión finita es la derivada habitual. En particular, está representado en coordenadas por la matriz jacobiana .
Suponga que f es un mapa,con U un conjunto abierto. Si f es derivable de Fréchet en un punto a ∈ U , entonces su derivada es
donde J f ( a ) denota la matriz jacobiana de f en a .
Además, las derivadas parciales de f están dadas por
donde { e i } es la base canónica de Dado que la derivada es una función lineal, tenemos para todos los vectores que la derivada direccional de f a lo largo de h está dada por
Si todas las derivadas parciales de f existen y son continuas, entonces f es derivable de Fréchet (y, de hecho, C 1 ). Lo contrario no es cierto; la función
Fréchet es diferenciable y, sin embargo, no tiene derivadas parciales continuas en .
Ejemplo en dimensiones infinitas
Uno de los ejemplos más simples (no triviales) en dimensiones infinitas, es aquel en el que el dominio es un espacio de Hilbert () y la función de interés es la norma. Así que considera.
Primero asume que . Entonces afirmamos que la derivada de Fréchet de a es el funcional lineal , definido por
En efecto,
Utilizando la continuidad de la norma y el producto interno obtenemos:
Como y debido a la Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky la desigualdad
está delimitado por así se desvanece todo el límite.
Ahora mostramos que en la norma no es diferenciable, es decir, no existe funcional lineal acotado tal que el límite en cuestión sea . Dejarser cualquier funcional lineal. El teorema de representación de Riesz nos dice que podría ser definido por para algunos . Considerar
Para que la norma sea diferenciable en Debemos tener
Demostraremos que esto no es cierto para ninguna . Si obviamente independientemente de , por lo tanto, esta no es la derivada. Asumir. Si tomamos tendiendo a cero en la dirección de (es decir , dónde ) luego , por eso
(Si tomamos tendiendo a cero en la dirección de incluso veríamos que este límite no existe ya que en este caso obtendremos ).
El resultado recién obtenido concuerda con los resultados en dimensiones finitas.
Relación con la derivada de Gateaux
Una función f : U ⊂ V → W se llama Gateaux diferenciable en x ∈ U si f tiene una derivada direccional a lo largo de todas las direcciones en x . Esto significa que existe una función g : V → W tal que
para cualquier vector elegido h en V , y donde t es del campo escalar asociado con V (generalmente, t es real ). [1]
Si f es derivable de Fréchet en x , también es derivable de Gateaux allí, y g es solo el operador lineal A = Df ( x ).
Sin embargo, no todas las funciones diferenciables de Gateaux son diferenciables de Fréchet. Esto es análogo al hecho de que la existencia de todas las derivadas direccionales en un punto no garantiza la diferenciabilidad total (o incluso la continuidad) en ese punto. Por ejemplo, la función f de valor real de dos variables reales definidas por
es continua y Gateaux diferenciable en (0, 0), siendo su derivada
La función g no es un operador lineal, por lo que esta función no es diferenciable de Fréchet.
De manera más general, cualquier función de la forma , donde r y φ son las coordenadas polares de ( x , y ), es continua y Gateaux diferenciable en (0,0) si g es diferenciable en 0 y, pero la derivada de Gateaux es solo lineal y la derivada de Fréchet solo existe si h es sinusoidal .
En otra situación, la función f dada por
Gateaux es diferenciable en (0, 0), siendo su derivada g ( a , b ) = 0 para todo ( a , b ), que es un operador lineal. Sin embargo, f no es continua en (0, 0) (se puede ver acercándose al origen a lo largo de la curva ( t , t 3 )) y, por lo tanto, f no puede ser diferenciable de Fréchet en el origen.
Un ejemplo más sutil es
que es una función continua que es Gateaux diferenciable en (0, 0), con su derivada siendo g ( a , b ) = 0 allí, que de nuevo es lineal. Sin embargo, f no es diferenciable de Fréchet. Si lo fuera, su derivada de Fréchet coincidiría con su derivada de Gateaux y, por tanto, sería el operador cero; de ahí el límite
tendría que ser cero, mientras que acercarse al origen a lo largo de la curva ( t , t 2 ) muestra que este límite no existe.
Estos casos pueden ocurrir porque la definición de la derivada de Gateaux solo requiere que los cocientes de diferencias converjan a lo largo de cada dirección individualmente, sin hacer requisitos sobre las tasas de convergencia para diferentes direcciones. Por lo tanto, para un ε dado, aunque para cada dirección el cociente de diferencia está dentro de ε de su límite en alguna vecindad del punto dado, estas vecindades pueden ser diferentes para diferentes direcciones, y puede haber una secuencia de direcciones para las cuales estas vecindades se vuelven arbitrariamente pequeño. Si se elige una secuencia de puntos a lo largo de estas direcciones, es posible que el cociente en la definición de la derivada de Fréchet, que considera todas las direcciones a la vez, no converja. Por lo tanto, para que una derivada lineal de Gateaux implique la existencia de la derivada de Fréchet, los cocientes de diferencias deben converger uniformemente en todas las direcciones.
El siguiente ejemplo solo funciona en dimensiones infinitas. Sea X un espacio de Banach y φ un funcional lineal en X que es discontinuo en x = 0 (un funcional lineal discontinuo ). Dejar
Entonces f ( x ) es Gateaux diferenciable en x = 0 con derivada 0. Sin embargo, f ( x ) no es Fréchet diferenciable ya que el límite
no existe.
Derivadas superiores
Si f : U → W es una función diferenciable en todos los puntos de un subconjunto abierto U de V , se sigue que su derivada
es una función de U para el espacio L ( V , W ) de todos delimitado lineal operadores de V a W . Esta función también puede tener una derivada, la derivada de segundo orden de f , que, según la definición de derivada, será un mapa
Para que sea más fácil trabajar con derivados de segundo orden, el espacio en el lado derecho se identifica con el espacio de Banach L 2 ( V × V , W ) de todos continua bilineal mapas de V a W . Un elemento φ en L ( V , L ( V , W )) De este modo se identifica con ψ en L 2 ( V × V , W ) tal que para todo x y y en V ,
(Intuitivamente: una función φ lineal en x con φ ( x ) lineal en y es lo mismo que una función bilineal ψ en x e y ).
Uno puede diferenciar
nuevamente, para obtener la derivada de tercer orden , que en cada punto será un mapa trilineal , y así sucesivamente. La n -ésima derivada será una función
tomando valores en el espacio de Banach de continua multilineal mapea en n argumentos de V a W . Recursivamente, una función f es n + 1 veces diferenciable en U si es n veces diferenciable en U y para cada x en U existe un mapa multilineal continuo A de n + 1 argumentos tales que el límite
existe de manera uniforme para h 1 , h 2 , ..., h n en conjuntos delimitadas en V . En ese caso, A es la ( n + 1) derivada de f en x .
Además, obviamente podemos identificar a un miembro del espacio con un mapa lineal a través de la identificación , viendo así la derivada como un mapa lineal.
Derivados parciales de Fréchet
En esta sección, ampliamos la noción habitual de derivadas parciales que se define para funciones de la forma, a funciones cuyos dominios y espacios de destino son espacios de Banach arbitrarios (reales o complejos) . Para hacer esto, deja y ser espacios de Banach (sobre el mismo campo de escalares), y dejar ser una función dada y fijar un punto . Nosotros decimos eso tiene un i-ésimo diferencial parcial en el punto si la función definido por
¿Fréchet es diferenciable en el punto (en el sentido descrito anteriormente). En este caso, definimosy llamamos la i-ésima derivada parcial de en el punto . Es importante tener en cuenta que es una transformación lineal de dentro . Heurísticamente, si tiene un i-ésimo diferencial parcial en , luego aproxima linealmente el cambio en la función cuando arreglamos todas sus entradas para que sean por , y solo variamos la entrada i-ésima. Podemos expresar esto en la notación de Landau como
Generalización a espacios vectoriales topológicos
La noción del derivado Fréchet se puede generalizar a arbitrarias espacios vectoriales topológicos (TVS) X y Y . Dejando que U sea un subconjunto abierto de X que contiene el origen y dada una función tal que Primero definimos lo que significa que esta función tenga 0 como su derivada. Decimos que esta función f es tangente a 0 si para cada vecindario abierto de 0, existe un vecindario abierto de 0, y una función tal que
y para todo t en alguna vecindad del origen,
Ahora podemos eliminar la restricción que definiendo f como diferenciable de Fréchet en un punto si existe un operador lineal continuo tal que , considerada como una función de h , es tangente a 0. (Lang p. 6)
Si existe el derivado de Fréchet, entonces es único. Además, la derivada de Gateaux también debe existir y ser igual a la derivada de Fréchet en que para todos,
dónde es el derivado de Fréchet. Una función que es diferenciable de Fréchet en un punto es necesariamente continua allí y las sumas y los múltiplos escalares de las funciones diferenciables de Fréchet son diferenciables de modo que el espacio de funciones que son diferenciables de Fréchet en un punto forman un subespacio de las funciones que son continuas en ese punto. La regla de la cadena también se cumple, al igual que la regla de Leibniz, siempre que Y es un álgebra y un TVS en el que la multiplicación es continua.
Ver también
Notas
- ^ Es común incluir en la definición que el mapa resultante g debe ser un operador lineal continuo . Evitamos adoptar esta convención aquí para permitir el examen de la clase más amplia posible de patologías.
Referencias
- Cartan, Henri (1967), Calcul différentiel , París: Hermann, MR 0223194.
- Dieudonné, Jean (1969), Fundamentos del análisis moderno , Boston, MA: Academic Press , MR 0349288.
- Lang, Serge (1995), colectores diferenciales y riemannianos , Springer , ISBN 0-387-94338-2.
- Munkres, James R. (1991), Análisis de variedades , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-51035-5, MR 1079066.
- Previato, Emma , ed. (2003), Diccionario de matemáticas aplicadas para ingenieros y científicos , Diccionario comprensivo de matemáticas, Londres: CRC Press , ISBN 978-1-58488-053-0, Señor 1966695.
- Coleman, Rodney, ed. (2012), Cálculo de espacios vectoriales normativos , Universitext, Springer , ISBN 978-1-4614-3894-6.
enlaces externos
- BA Frigyik, S. Srivastava y MR Gupta, Introducción a los derivados funcionales , Informe técnico de UWEE 2008-0001.
- http://www.probability.net . Esta página web trata principalmente sobre la probabilidad básica y la teoría de la medida, pero hay un buen capítulo sobre la derivada de Frechet en los espacios de Banach (capítulo sobre la fórmula jacobiana). Todos los resultados se dan con prueba.