Kan fibración

En matemáticas, los complejos Kan y las fibraciones Kan forman parte de la teoría de conjuntos simpliciales . Las fibraciones Kan son las fibraciones de la estructura de categorías del modelo estándar en conjuntos simpliciales y, por lo tanto, son de fundamental importancia. Los complejos Kan son los objetos fibrantes en esta categoría de modelo. El nombre es en honor a Daniel Kan .

Para cada n  ≥ 0, recuerde que el estándar -simplex``${\ Displaystyle n}$ es el conjunto simplicial representable${\ Displaystyle \ Delta ^ {n}}$

La aplicación del functor de realización geométrica a este conjunto simple da un espacio homeomorfo al estándar topológico -simplex${\ Displaystyle n}$ : el subespacio convexo de ℝ ^{n + 1} que consta de todos los puntos de modo que las coordenadas no son negativas y suman 1.${\ Displaystyle (t_ {0}, \ dots, t_ {n})}$

Para cada k  ≤  n , esto tiene un subcomplejo , el k -ésimo cuerno en el interior , correspondiente al límite del n -simplex, con la k -ésima cara eliminada. Esto puede definirse formalmente de varias formas, como por ejemplo la unión de las imágenes de los n mapas correspondientes a todas las demás caras de . ^[1] Los cuernos de la forma que se sienta adentro se ven como la V negra en la parte superior de la imagen adyacente. Si es un conjunto simple, entonces mapas${\ Displaystyle \ Lambda _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {n-1} \ rightarrow \ Delta ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Delta ^ {n}}$${\displaystyle \Lambda _{k}^{2}}$${\displaystyle \Delta ^{2}}$${\displaystyle X}$

corresponden a colecciones de -simplices que satisfacen una condición de compatibilidad, uno para cada uno . Explícitamente, esta condición se puede escribir de la siguiente manera. Escriba los -simplices como una lista y requiera que${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle (s_{0},\dots ,s_{k-1},s_{k+1},\dots ,s_{n})}$

El simplex azul rayado en el dominio tiene que existir para que este mapa sea una fibración Kan

Diagrama de elevación para una fibración Kan