En álgebra abstracta , el teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos , probado por primera vez por Irving Kaplansky , establece que un módulo proyectivo sobre un anillo local es gratuito ; [1] donde un anillo conmutativo no necesario se llama local si para cada elemento x , x o 1 - x es un elemento unitario. [2] El teorema también se puede formular para caracterizar un anillo local ( # Caracterización de un anillo local ).
Para un módulo proyectivo finito sobre un anillo local conmutativo, el teorema es una consecuencia fácil del lema de Nakayama . [3] Para el caso general, la prueba (tanto la original como la posterior) consta de los dos pasos siguientes:
- Observe que un módulo proyectivo sobre un anillo arbitrario es una suma directa de módulos proyectivos generados contablemente .
- Demuestre que un módulo proyectivo generado contablemente sobre un anillo local es libre (por una "[reminiscencia] de la prueba del lema de Nakayama" [4] ).
La idea de la prueba del teorema también fue utilizada más tarde por Hyman Bass para mostrar que los grandes módulos proyectivos (en algunas condiciones suaves) son gratuitos. [5] Según ( Anderson & Fuller 1992 ), el teorema de Kaplansky "es muy probablemente la inspiración para una gran parte de los resultados" en la teoría de los anillos semiperfectos . [1]
Prueba
La demostración del teorema se basa en dos lemas, los cuales se refieren a la descomposición de módulos y son de interés general independiente.
Lema 1 - [6] Seadenotan la familia de módulos que son sumas directas de algunos de los submódulos generados contablemente (aquí los módulos pueden ser los de un anillo, un grupo o incluso un conjunto de endomorfismos). Si es en , entonces cada sumando directo de también está en .
Prueba : Sea N un sumando directo; es decir,. Usando la suposición, escribimos donde cada es un submódulo generado contablemente. Para cada subconjunto, nosotros escribimos la imagen de bajo la proyección y de la misma manera. Ahora, considere el conjunto de todos los triples (, , ) que consta de un subconjunto y subconjuntos tal que y son las sumas directas de los módulos en . Damos a este conjunto un orden parcial tal que si y solo si , . Según el lema de Zorn , el conjunto contiene un elemento máximo. Mostraremos que; es decir,. Supongamos lo contrario. Entonces podemos construir inductivamente una secuencia de como máximo subconjuntos contables tal que y por cada entero ,
- .
Dejar y . Reclamamos:
La inclusión es trivial. En cambio, es la imagen de y entonces . Lo mismo también es cierto para. Por tanto, la afirmación es válida.
Ahora, es una suma directa de (ya que es una suma de , que es una suma de ); es decir, para algunos . Entonces, por ley modular,. Colocar. Definirdel mismo modo. Luego, usando el reclamo temprano, tenemos:
lo que implica que
se genera contablemente como . Esto contradice la maximalidad de.
Lema 2 - Si son módulos generados contablemente con anillos de endomorfismo local y si es un módulo generado contablemente que es una suma directa de , luego es isomorfo a para algunos como máximo subconjunto contable .
Prueba : [7] Deja denotar la familia de módulos que son isomorfos a los módulos de la forma para algún subconjunto finito . La afirmación está entonces implícita en la siguiente afirmación:
- Dado un elemento , existe un que contiene x y es un sumando directo de N .
De hecho, suponga que la afirmación es válida. Luego elige una secuenciaen N que es un grupo electrógeno. Luego, usando el reclamo, escriba dónde . Entonces escribimos dónde . Luego descomponemos con . Nota. Repitiendo este argumento, al final, tenemos:; es decir,. Por lo tanto, la prueba se reduce a probar la afirmación y la afirmación es una consecuencia directa del teorema de Azumaya (consulte el artículo vinculado para el argumento).
Prueba del teorema : Seaser un módulo proyectivo sobre un anillo local. Entonces, por definición, es una suma directa de algún módulo gratuito. Esto está en la familia en el Lema 1; por lo tanto,es una suma directa de submódulos generados contablemente, cada uno un sumando directo de F y por lo tanto proyectivo. Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemos suponerse genera contablemente. Entonces el Lema 2 da el teorema.
Caracterización de un anillo local
El teorema de Kaplansky puede enunciarse de tal manera que dé una caracterización de un anillo local. Se dice que un sumando directo es máximo si tiene un complemento indecomponible.
Teorema - [8] Sea R un anillo. Entonces los siguientes son equivalentes.
- R es un anillo local.
- Cada módulo proyectivo sobre R es libre y tiene una descomposición indecomponible tal que para cada suma directa máxima L de M , hay una descomposición para algún subconjunto .
La implicación es exactamente (habitual) el teorema de Kaplansky y el teorema de Azumaya. Lo contrario se desprende del siguiente hecho general, que en sí mismo interesa:
- Un anillo R es localpara cada sumando directo propio distinto de cero M de, ya sea o .
es por el teorema de Azumaya como en la prueba de . Por el contrario, supongatiene la propiedad de arriba y de que un elemento x en R se da. Considere el mapa lineal. Colocar. Luego, que es decir divisiones y la imagen es una suma directa de . De ahí se desprende fácilmente la suposición de que x o - y es un elemento unitario.
Ver también
Notas
- ↑ a b Anderson y Fuller 1992 , Corolario 26.7.
- ^ Anderson y Fuller 1992 , Proposición 15.15.
- ^ Matsumura , Teorema 2.5.
- ^ Lam , parte 1. § 1.
- ^ Bajo 1963
- ^ Anderson y Fuller 1992 , Teorema 26.1.
- ^ Anderson y Fuller 1992 , Prueba del teorema 26.5.
- ^ Anderson y Fuller 1992 , ejercicio 26.3.
Referencias
- Anderson, Frank W .; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
- H. Bass: Los módulos proyectivos grandes son gratuitos, Illinois J. Math. 7 (1963), 24-31.
- Kaplansky, Irving (1958), "Módulos proyectivos", Ann. de Matemáticas. , 2, 68 (2): 372–377, doi : 10.2307 / 1970252 , hdl : 10338.dmlcz / 101124 , JSTOR 1970252 , MR 0100017
- Y. Lam, el trabajo de Bass en teoría de anillos y módulos proyectivos [MR 1732042]
- Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6