En matemáticas , más específicamente álgebra abstracta y álgebra conmutativa , el lema de Nakayama - también conocido como el teorema de Krull-Azumaya [1] - gobierna la interacción entre el radical Jacobson de un anillo (típicamente un anillo conmutativo ) y sus finitamente generados módulos . De manera informal, el lema da inmediatamente un sentido preciso en el que los módulos generados finitamente sobre un anillo conmutativo se comportan como espacios vectoriales sobre un campo . Es una herramienta importante en geometría algebraica , porque permite datos locales enVariedades algebraicas , en forma de módulos sobre anillos locales , que se estudiarán puntualmente como espacios vectoriales sobre el campo de residuos del anillo.
El lema lleva el nombre del matemático japonés Tadashi Nakayama y se introdujo en su forma actual en Nakayama (1951) , aunque fue descubierto por primera vez en el caso especial de los ideales en un anillo conmutativo por Wolfgang Krull y luego en general por Goro Azumaya ( 1951 ). . [2] En el caso conmutativo, el lema es una simple consecuencia de una forma generalizada del teorema de Cayley-Hamilton , una observación realizada por Michael Atiyah ( 1969 ). El caso especial de la versión no conmutativa del lema para ideales correctos aparece en Nathan Jacobson ( 1945 ), por lo que el lema de Nakayama no conmutativo se conoce a veces como el teorema de Jacobson-Azumaya . [1] Este último tiene varias aplicaciones en la teoría de los radicales de Jacobson . [3]
Declaración
Dejar ser un anillo conmutativo con identidad 1. El siguiente es el lema de Nakayama, como se indica en Matsumura (1989) :
Declaración 1 : Dejaser un ideal en, y un módulo generado finita sobre. Si, entonces existe un con , tal que .
Esto se demuestra a continuación .
El siguiente corolario también se conoce como lema de Nakayama, y es en esta forma que aparece con mayor frecuencia. [4]
Declaración 2 : Si es un módulo generado de forma finita sobre , es el radical de Jacobson de, y , luego .
- Prueba : (con como arriba) está en el radical de Jacobson así que es invertible.
De manera más general, uno tiene eso es un submódulo superfluo de Cuándo se genera de forma finita.
Declaración 3 : Sies un módulo generado finitamente sobre R , N es un submódulo de, Y M = N + J ( R ) M , entonces M = N .
- Prueba : Aplicar 2 Declaración de M / N .
El siguiente resultado manifiesta el lema de Nakayama en términos de generadores. [5]
Declaración 4 : Si M es un módulo generado finitamente sobre R y las imágenes de los elementos m 1 , ..., m n de M en M / J ( R ) M generan M / J ( R ) M como un módulo R , entonces m 1 , ..., m n también generan M como un módulo R.
- Prueba : aplique la declaración 3 a N = Σ i Rm i .
Si, en cambio, se supone que R está completo y M está separado con respecto a la topología I -ádica para un I ideal en R , esta última afirmación se cumple con I en lugar de J ( R ) y sin suponer de antemano que M se genera de forma finita. . [6] Aquí la separación significa que la topología I -ádica satisface el axioma de separación T 1 , y es equivalente a
Consecuencias
Anillos locales
En el caso especial de un módulo generado finita sobre un anillo local con el máximo ideal , el cociente es un espacio vectorial sobre el campo . La declaración 4 implica entonces que una base de ascensores a un conjunto mínimo de generadores de . Por el contrario, cada conjunto mínimo de generadores dese obtiene de esta manera, y dos conjuntos de generadores cualesquiera se relacionan mediante una matriz invertible con entradas en el anillo.
Interpretación geométrica
De esta forma, el lema de Nakayama adquiere un significado geométrico concreto. Los anillos locales surgen en geometría como los gérmenes de funciones en un punto. Los módulos finamente generados sobre anillos locales surgen con bastante frecuencia como gérmenes de secciones de haces de vectores . Trabajando a nivel de gérmenes en lugar de puntos, la noción de haz de vectores de dimensión finita da paso a la de un haz coherente . De manera informal, el lema de Nakayama dice que todavía se puede considerar que un haz coherente proviene de un paquete de vectores en algún sentido. Más precisamente, dejemos ser un haz coherente de -módulos sobre un esquema arbitrario . El tallo de en un punto , denotado por , es un módulo sobre el anillo local y la fibra de a es el espacio vectorial . El lema de Nakayama implica que una base de la fibra ascensores a un conjunto mínimo de generadores de . Es decir:
- Cualquier base de la fibra de una gavilla coherente. en un punto proviene de una base mínima de secciones locales.
Reformulando esto geométricamente, si es un local gratis -módulos que representan un paquete de vectores , y si tomamos una base del paquete de vectores en un punto del esquema , esta base se puede elevar a una base de secciones del paquete de vectores en alguna vecindad del punto. Podemos organizar estos datos en forma de diagrama
dónde es un espacio vectorial n-dimensional, por decir una base en (que es una base de secciones del paquete ) se puede elevar a una base de secciones para algún barrio de .
Subiendo y bajando
El teorema de la subida es esencialmente un corolario del lema de Nakayama. [7] Afirma:
- Dejar ser una extensión integral de anillos conmutativos, yun ideal primordial de. Entonces hay un ideal primordial en tal que . Es más, se puede elegir para contener cualquier prima de tal que .
Epimorfismos del módulo
El lema de Nakayama tiene un sentido preciso en el que los módulos generados finitamente sobre un anillo conmutativo son como espacios vectoriales sobre un campo. La siguiente consecuencia del lema de Nakayama da otra forma en la que esto es cierto:
- Si es un finitamente generado -módulo y es un endomorfismo sobreyectivo, entonces es un isomorfismo. [8]
En un anillo local, se puede decir más sobre los epimorfismos de los módulos: [9]
- Suponer que es un anillo local con máximo ideal , y se generan finitamente -módulos. Si es un -mapa lineal tal que el cociente es sobreyectiva, entonces es sobreyectiva.
Versiones homológicas
El lema de Nakayama también tiene varias versiones en álgebra homológica . La declaración anterior sobre los epimorfismos se puede utilizar para mostrar: [9]
- Dejar ser un módulo generado de forma finita sobre un anillo local. Luegoes proyectiva si y solo si es libre . Esto se puede utilizar para calcular el grupo de Grothendieck de cualquier anillo local. como .
Una contraparte geométrica y global de esto es el teorema de Serre-Swan , que relaciona módulos proyectivos y haces coherentes.
De manera más general, uno tiene [10]
- Dejar ser un anillo local y un módulo finitamente generado sobre . Entonces la dimensión proyectiva de encima es igual a la longitud de cada resolución libre mínima de. Además, la dimensión proyectiva es igual a la dimensión global de, que es por definición el número entero más pequeño tal que
- Aquí es el campo de residuos de y es el tor functor .
Prueba
Una prueba estándar del lema de Nakayama utiliza la siguiente técnica debida a Atiyah y Macdonald (1969) . [11]
- Sea M un módulo R generado por n elementos, y φ: M → M un mapa lineal R. Si hay un I ideal de R tal que φ ( M ) ⊂ IM , entonces hay un polinomio mónico
- con p k ∈ I k , tal que
- como un endomorfismo de M .
Esta afirmación es precisamente una versión generalizada del teorema de Cayley-Hamilton , y la demostración procede en la misma línea. En los generadores x i de M , se tiene una relación de la forma
donde un ij ∈ yo . Por lo tanto
El resultado requerido se obtiene al multiplicar por el adyuvante de la matriz (φδ ij - a ij ) e invocar la regla de Cramer . Entonces se encuentra det (φδ ij - a ij ) = 0, por lo que el polinomio requerido es
Para probar el lema de Nakayama del teorema de Cayley-Hamilton, asumen que IM = M y tomar φ a ser la identidad de M . Luego defina un polinomio p ( x ) como arriba. Luego
Tiene la propiedad requerida.
Caso no conmutativo
Una versión del lema es válida para módulos correctos sobre anillos unitales R no conmutativos . El teorema resultante se conoce a veces como el teorema de Jacobson-Azumaya . [12]
Deje J ( R ) sea el radical Jacobson de R . Si U es un módulo derecho sobre un anillo, R , e I es un ideal derecho en R , entonces defina U · I como el conjunto de todas las sumas (finitas) de elementos de la forma u · i , donde · es simplemente el acción de R en U . Necesariamente, T · I es un submódulo de U .
Si V es un submódulo máximo de U , entonces U / V es simple . Entonces U · J ( R ) es necesariamente un subconjunto de V , según la definición de J ( R ) y el hecho de que U / V es simple. [13] Por lo tanto, si T contiene al menos un (correcto) submódulo máxima, T · J ( R ) es un submódulo adecuada de U . Sin embargo, esto no tiene por qué ser válido para módulos arbitrarios U sobre R , ya que U no necesita contener ningún submódulo máximo. [14] Naturalmente, si U es un módulo noetheriano , esto es válido. Si R es noetheriano y U se genera de forma finita , entonces U es un módulo noetheriano sobre R y se cumple la conclusión. [15] Algo notable es que la suposición más débil, a saber, que U se genera de forma finita como un módulo R (y sin suposición de finitud en R ), es suficiente para garantizar la conclusión. Ésta es esencialmente la declaración del lema de Nakayama. [dieciséis]
Precisamente, uno tiene:
- Lema de Nakayama : Let U sea un finito generado módulo de la derecha sobre un (unital) anillo R . Si U es un módulo distinto de cero, entonces U · J ( R ) es un submódulo adecuada de U . [dieciséis]
Prueba
Dejar ser un subconjunto finito de , mínimo con respecto a la propiedad que genera . Desde no es cero, este conjunto no está vacío. Denote cada elemento de por por . Desde genera ,.
Suponer , para obtener una contradicción. Entonces cada elementose puede expresar como una combinación finita para algunos .
Cada puede descomponerse aún más como para algunos . Por lo tanto, tenemos
.
Desde es un ideal (bilateral) en , tenemos para cada , y así esto se convierte en
- para algunos , .
Poniendo y aplicando distributividad, obtenemos
- .
Elige algunos . Si el ideal correcto fueran apropiados, entonces estaría contenido en un ideal derecho máximo y ambos y pertenecería a , lo que lleva a una contradicción (tenga en cuenta que por la definición del radical de Jacobson). Por lo tanto y tiene una inversa a la derecha en . Tenemos
- .
Por lo tanto,
- .
Por lo tanto es una combinación lineal de los elementos de . Esto contradice la minimidad dey establece el resultado. [17]
Versión graduada
También hay una versión graduada del lema de Nakayama. Sea R un anillo clasificado por el semigrupo ordenado de enteros no negativos, y seadenotar el ideal generado por elementos graduados positivamente. Entonces, si M es un módulo graduado sobre R para el cualpara i suficientemente negativo (en particular, si M se genera finitamente y R no contiene elementos de grado negativo) tal que, luego . De particular importancia es el caso de que R es un anillo polinomial con la clasificación estándar y M es un módulo generado de forma finita.
La demostración es mucho más fácil que en el caso no calificado: tomando i como el menor número entero tal que, vemos eso no aparece en , entonces tampoco , o tal i no existe, es decir,.
Ver también
- Teoría del módulo
- Teorema de Serre-Swan
Notas
- ↑ a b Nagata , 1962 , §A.2
- ↑ Nagata 1962 , §A.2 ; Matsumura 1989 , pág. 8
- ^ Isaacs 1993 , Corolario 13.13, p. 184
- ^ Eisenbud 1995 , Corolario 4.8; Atiyah y Macdonald (1969 , Proposición 2.6)
- ^ Eisenbud 1995 , Corolario 4.8 (b)
- ^ Eisenbud 1995 , ejercicio 7.2
- ^ Eisenbud 1993 , §4.4
- ^ Matsumura 1989 , Teorema 2.4
- ↑ a b Griffiths y Harris , 1994 , p. 681
- ↑ Eisenbud 1993 , Corolario 19.5
- ^ Matsumura 1989 , p. 7: "Una técnica estándar aplicable a losmódulos A finitos es el 'truco determinante' ..." Ver también la demostración contenida en Eisenbud (1995 , §4.1).
- ^ Nagata 1962 , §A2
- ^ Isaacs 1993 , p. 182
- ^ Isaacs 1993 , p. 183
- ^ Isaacs 1993 , Teorema 12.19, p. 172
- ↑ a b Isaacs 1993 , Teorema 13.11, p. 183
- ^ Isaacs 1993 , Teorema 13.11, p. 183; Isaacs 1993 , Corolario 13.12, pág. 183
Referencias
- Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Reading, MA: Addison-Wesley.
- Azumaya, Gorô (1951), "Sobre álgebras centrales máximas", Nagoya Mathematical Journal , 2 : 119-150, doi : 10.1017 / s0027763000010114 , ISSN 0027-7630 , MR 0040287.
- Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas, 52 , Springer-Verlag.
- Isaacs, I. Martin (1993), Álgebra, un curso de posgrado (1ª ed.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
- Jacobson, Nathan (1945), "The radical and semi-simplicity for arbitrary rings", American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi : 10.2307 / 2371731 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371731 , MR 0012271.
- Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461.
- Nagata, Masayoshi (1975), Anillos locales , Robert E. Krieger Publishing Co., Huntington, NY, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0460307.
- Nakayama, Tadasi (1951), "Un comentario sobre módulos generados finitamente", Nagoya Mathematical Journal , 3 : 139–140, doi : 10.1017 / s0027763000012265 , ISSN 0027-7630 , MR 0043770.
Enlaces
- Cómo entender el lema de Nakayama y sus corolarios