En matemáticas , la desigualdad de Karamata , [1] llamada así por Jovan Karamata , [2] también conocida como la desigualdad de mayorización , es un teorema de álgebra elemental para funciones convexas y cóncavas de valor real, definidas en un intervalo de la línea real. Generaliza la forma discreta de la desigualdad de Jensen , y generaliza a su vez al concepto de funciones convexas de Schur .
Sea I un intervalo de la línea real y sea f una función convexa de valor real definida en I . Si x 1 , …, x n y y 1 , …, y n son números en I tales que ( x 1 , …, x n ) mayoriza ( y 1 , …, y n ) , entonces
Si f es una función estrictamente convexa , entonces la desigualdad ( 1 ) se cumple con igualdad si y solo si tenemos x i = y i para todo i ∈ {1, …, n } .
La forma finita de la desigualdad de Jensen es un caso especial de este resultado. Considere los números reales x 1 , …, x n ∈ I y sea
denote su media aritmética . Entonces ( x 1 , …, x n ) mayoriza la n -tupla ( a , a , …, a ) , ya que la media aritmética de los i números más grandes de ( x 1 , …, x n ) es al menos tan grande como la media aritmética a de todos los n números, para todo i ∈ {1, …, n − 1} . Por la desigualdad de Karamata ( 1 ) para la función convexa f,
Si x i = y i para todo i ∈ {1, …, n } , entonces la desigualdad ( 1 ) se cumple con igualdad, por lo que podemos suponer a continuación que x i ≠ y i para al menos un i .