Función Schur-convexa

En matemáticas, una función Schur-convexa , también conocida como S-convexa , función isotónica y función de preservación del orden es una función ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ eso para todos ${\ Displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$ tal que ${\ Displaystyle x}$ está mayorizado por ${\ Displaystyle y}$ , uno tiene eso ${\ Displaystyle f (x) \ leq f (y)}$ . Las funciones Schur-convexas, que llevan el nombre de Issai Schur , se utilizan en el estudio de la mayorización . Toda función convexa y simétrica también es Schur-convexa. La implicación opuesta no es cierta, pero todas las funciones Schur-convexas son simétricas (bajo permutaciones de los argumentos). ^[1]

Función Schur-cóncava

Una función f es 'Schur-cóncava' si su negativo, - f , es Schur-convexo.

Criterio de Schur-Ostrowski

Si f es simétrica y existen todas las primeras derivadas parciales, entonces f es Schur-convexa si y solo si

${\ Displaystyle (x_ {i} -x_ {j}) \ left ({\ frac {\ f parcial} {\ parcial x_ {i}}} - {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x_ {j} }} \ derecha) \ geq 0}$ para todos ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

se cumple para todo 1≤ i ≠ j ≤ d . ^[2]

Ejemplos

${\ Displaystyle f (x) = \ min (x)}$ es Schur-cóncavo mientras ${\ Displaystyle f (x) = \ max (x)}$ es Schur-convexo. Esto se puede ver directamente en la definición.
La función de entropía de Shannon ${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {d} {P_ {i} \ cdot \ log _ {2} {\ frac {1} {P_ {i}}}}}$ es Schur-cóncavo.
La función de entropía de Rényi también es cóncava de Schur.
${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {d} {x_ {i} ^ {k}}, k \ geq 1}$ es Schur-convexo.
La función ${\ Displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {d} x_ {i}}$ es Schur-cóncavo, cuando asumimos todos ${\ Displaystyle x_ {i}> 0}$ . De la misma manera, todas las funciones simétricas elementales son cóncavas de Schur, cuando ${\ Displaystyle x_ {i}> 0}$ .
Una interpretación natural de la mayorización es que si ${\ Displaystyle x \ succ y}$ luego ${\ Displaystyle x}$ está menos extendido que ${\ Displaystyle y}$ . Por tanto, es natural preguntarse si las medidas estadísticas de variabilidad son Schur-convexas. La varianza y la desviación estándar son funciones Schur-convexas, mientras que la desviación absoluta mediana no lo es.
Si ${\ Displaystyle g}$ es una función convexa definida en un intervalo real, entonces ${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} g (x_ {i})}$ es Schur-convexo.
Un ejemplo de probabilidad: si ${\ Displaystyle X_ {1}, \ dots, X_ {n}}$ son variables aleatorias intercambiables , entonces la función ${\ Displaystyle {\ text {E}} \ prod _ {j = 1} ^ {n} X_ {j} ^ {a_ {j}}}$ es Schur-convexo en función de ${\ Displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$ , asumiendo que las expectativas existen.
El coeficiente de Gini es estrictamente convexo de Schur.

Referencias

^ Roberts, A. Wayne; Varberg, Dale E. (1973). Funciones convexas . Nueva York: Academic Press. pag. 258 . ISBN 9780080873725.
↑ E. Peajcariaac, Josip; L. Tong, Y. Funciones convexas, ordenamientos parciales y aplicaciones estadísticas . Prensa académica. pag. 333. ISBN 9780080925226.

Ver también

Función cuasiconvexa

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[1] Roberts, A. Wayne; Varberg, Dale E. (1973). Funciones convexas . Nueva York: Academic Press. pag. 258 . ISBN 9780080873725.

[2] E. Peajcariaac, Josip; L. Tong, Y. Funciones convexas, ordenamientos parciales y aplicaciones estadísticas . Prensa académica. pag. 333. ISBN 9780080925226.

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