En la teoría de números , un número Keith o número repfigit (abreviatura de rep etitive F ibonacci-como d igit ) es un número natural en una base numérica dada con dígitos tales que cuando se crea una secuencia tal que el primer los términos son los dígitos de y cada término subsiguiente es la suma del anterior condiciones, es parte de la secuencia. Los números de Keith fueron introducidos por Mike Keith en 1987. [1] Son computacionalmente muy difíciles de encontrar, con solo unos 100 conocidos.
Definición
Dejar ser un número natural , deja ser el número de dígitos en el número en base , y deja
sea el valor de cada dígito del número.
Definimos una relación de recurrencia lineal tal que para ,
y para
Si existe un tal que , luego se dice que es un número de Keith .
Por ejemplo, 88 es un número de Keith en base 6 , como
y toda la secuencia
y .
Encontrar números de Keith
Si hay o no infinitos números de Keith en una base particular Actualmente es un tema de especulación. Los números de Keith son raros y difíciles de encontrar. Se pueden encontrar mediante una búsqueda exhaustiva y no se conoce ningún algoritmo más eficiente. [2] Según Keith, en base 10 , en promedioSe esperan números de Keith entre potencias sucesivas de 10. [3] Los resultados conocidos parecen apoyar esto.
Ejemplos de
14 , 19 , 28 , 47 , 61 , 75 , 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, 7913837, 11436171, 33445755, 44121607, 129572008, 251133297, ... [4]
Otras bases
En base 2 , existe un método para construir todos los números de Keith. [3]
Los números de Keith en base 12 , escritos en base 12, son
- 11, 15, 1Ɛ, 22, 2 ᘔ, 31, 33, 44, 49, 55, 62, 66, 77, 88, 93, 99, ᘔᘔ, ƐƐ, 125, 215, 24 ᘔ, 405, 42 ᘔ, 654, 80 ᘔ, 8 ᘔ 3, ᘔ 59, 1022, 1662, 2044, 3066, 4088, 4 ᘔ 1 ᘔ, 4 ᘔƐ1, 50 ᘔᘔ, 8538, Ɛ18Ɛ, 17256, 18671, 24 ᘔ 78, 4718Ɛ, 517Ɛᘔ, 157617, 1 ᘔ 265 ᘔ, 5 ᘔ 4074, 5 ᘔƐ140, 6Ɛ8515, ...
Clústeres de Keith
Un grupo de Keith es un conjunto relacionado de números de Keith de manera que uno es múltiplo de otro. Por ejemplo, en base 10 ,, , y son todos los clústeres de Keith. Estos son posiblemente los únicos tres ejemplos de un grupo de Keith en base 10 . [5]
Ejemplo de programación
El siguiente ejemplo implementa la secuencia definida anteriormente en Python para determinar si un número en una base en particular es un número de Keith:
def is_repfigit ( x : int , b : int ) -> bool : "" "Determina si un número en una base particular es un número de Keith." "" si x == 0 : return True secuencia = [] y = x mientras que y > 0 : secuencia . añadir ( y % b ) y = y // b DIGIT_COUNT = len ( secuencia ) de secuencia . reverso () while secuencia [ len ( secuencia ) - 1 ] < x : n = 0 para i en el rango ( 0 , digit_count ): n = n + secuencia [ len ( secuencia ) - digit_count + i ] secuencia . añadir ( n ) return ( secuencia [ len ( secuencia ) - 1 ] == x )
Ver también
Referencias
- ^ Keith, Mike (1987). "Reajustar números". Revista de matemáticas recreativas . 19 (2): 41–42.
- ^ Earls, Jason ; Lichtblau, Daniel; Weisstein, Eric W. "Número de Keith" . MathWorld .
- ^ a b Keith, Mike . "Números de Keith" .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A007629 (Repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) números (o números de Keith))" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Copeland, Ed. "14 197 y otros números de Keith" . Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 22 de mayo de 2017 . Consultado el 9 de abril de 2013 .