En mecánica de fluidos , el teorema de energía mínima de Kelvin (llamado así por William Thomson, primer barón Kelvin que lo publicó en 1849 [1] ) establece que el movimiento de irritación constante de un fluido incompresible que ocupa una región simplemente conectada tiene menos energía cinética que cualquier otro movimiento con el mismo componente normal de velocidad en el límite (y, si el dominio se extiende hasta el infinito, con valores de valor cero allí) . [2] [3] [4] [5]
Prueba matemática
Dejar ser el campo de velocidad de un fluido irritante incompresible y ser el de cualquier otro movimiento de fluido incompresible con la misma velocidad de componente normal en el límite del dominio, donde es el vector unitario de la superficie delimitadora (y, si el dominio se extiende hasta el infinito, allí). Entonces la diferencia entre la energía cinética viene dada por
se puede reorganizar para dar
Desde es irrotacional y el dominio está simplemente conectado, existe un potencial de velocidad de un solo valor , es decir,. Usando esto, la segunda integral en la ecuación anterior se puede escribir como
La segunda integral es idénticamente cero para un fluido incompresible estable, es decir, . Aplicando el teorema de Gauss para la primera integral encontramos
donde la integral de superficie es cero ya que la componente normal de las velocidades es igual allí. Así, se concluye
o en otras palabras, , donde la igualdad se mantiene solo si , probando así el teorema.
Referencias
- ^ Thomson, W. (1849). Notas sobre hidrodinámica. V. Sobre la vis-viva de un líquido en movimiento. Camb. Dubl. Matemáticas. J, 4, 90-94.
- ^ Kelvin, WTB y Tait, PG (1867). Tratado de filosofía natural (Vol. 1). Prensa de Claredon.
- ^ Cordero, H. (1932). Hidrodinámica. Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ^ Batchelor, GK (2000). Introducción a la dinámica de fluidos. Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ^ Truesdell, C. (1954). La cinemática de la vorticidad (Vol. 954). Bloomington: Prensa de la Universidad de Indiana.