En cálculo vectorial , el teorema de divergencia , también conocido como teorema de Gauss o teorema de Ostrogradsky , [1] es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo en el volumen encerrado.
Más precisamente, el teorema de la divergencia establece que la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie cerrada, que se llama flujo a través de la superficie, es igual a la integral de volumen de la divergencia sobre la región dentro de la superficie. Intuitivamente, establece que la suma de todas las fuentes del campo en una región (con sumideros considerados como fuentes negativas) da el flujo neto fuera de la región .
El teorema de la divergencia es un resultado importante para las matemáticas de la física y la ingeniería , particularmente en electrostática y dinámica de fluidos . En estos campos, se suele aplicar en tres dimensiones. Sin embargo, se generaliza a cualquier número de dimensiones. En una dimensión, equivale a la integración por partes . En dos dimensiones, es equivalente al teorema de Green .
Explicación sobre el uso de flujo de líquido
Los campos vectoriales se ilustran a menudo usando el ejemplo del campo de velocidad de un fluido , como un gas o un líquido. Un líquido en movimiento tiene una velocidad, una rapidez y una dirección, en cada punto, que puede representarse mediante un vector , de modo que la velocidad del líquido forma un campo vectorial. Considere una superficie cerrada imaginaria S dentro de un cuerpo de líquido, que encierra un volumen de líquido. El flujo de líquido fuera del volumen es igual a la tasa de volumen de líquido que atraviesa esta superficie, es decir, la integral de superficie de la velocidad sobre la superficie.
Dado que los líquidos son incompresibles, la cantidad de líquido dentro de un volumen cerrado es constante; si no hay fuentes o sumideros dentro del volumen, entonces el flujo de líquido fuera de S es cero. Si el líquido se está moviendo, puede fluir hacia el volumen en algunos puntos de la superficie S y salir del volumen en otros puntos, pero las cantidades que entran y salen en cualquier momento son iguales, por lo que el flujo neto de líquido que sale del el volumen es cero.
Sin embargo, si una fuente de líquido está dentro de la superficie cerrada, como una tubería a través de la cual se introduce líquido, el líquido adicional ejercerá presión sobre el líquido circundante, provocando un flujo hacia afuera en todas las direcciones. Esto hará que una red de flujo hacia el exterior a través de la superficie S . El flujo hacia afuera a través de S es igual a la tasa de volumen de flujo de fluido hacia S desde la tubería. De manera similar, si hay un fregadero o drenaje dentro de S , como una tubería que drena el líquido, la presión externa del líquido provocará una velocidad en todo el líquido dirigida hacia adentro, hacia la ubicación del drenaje. La tasa de volumen de flujo de líquido hacia adentro a través de la superficie S es igual a la tasa de líquido extraído por el sumidero.
Si hay múltiples fuentes y sumideros de líquido dentro de S , el flujo a través de la superficie se puede calcular sumando la tasa de volumen de líquido agregado por las fuentes y restando la tasa de líquido drenado por los sumideros. La tasa de volumen de flujo de líquido a través de una fuente o sumidero (con el flujo a través de un sumidero dado un signo negativo) es igual a la divergencia del campo de velocidad en la boca de la tubería, por lo que suma (integra) la divergencia del líquido en todo el volumen encerrado por S es igual a la tasa de volumen de flujo a través de S . Este es el teorema de la divergencia. [2]
El teorema de la divergencia se emplea en cualquier ley de conservación que establece que el volumen total de todos los sumideros y fuentes, que es la integral de volumen de la divergencia, es igual al flujo neto a través de la frontera del volumen. [3]
Declaración matemática
Suponga que V es un subconjunto de(en el caso de n = 3, V representa un volumen en un espacio tridimensional ) que es compacto y tiene un límite suave a trozos S (también indicado con ). Si F es un campo vectorial continuamente diferenciable definido en una vecindad de V , entonces: [4] [ verificación fallida - ver discusión ]
El lado izquierdo es una integral de volumen sobre el volumen V , el lado derecho es la integral de superficie sobre el límite del volumen V . El colector cerradoestá orientado por las normales que apuntan hacia afuera , yn es la unidad de las normales que apuntan hacia afuera en cada punto del límite. ( puede usarse como una abreviatura de ). En términos de la descripción intuitiva anteriormente, el lado izquierdo de la ecuación representa el total de las fuentes en el volumen V , y el lado derecho representa el flujo total a través del límite S .
Derivación informal
El teorema de la divergencia se deriva del hecho de que si un volumen V se divide en partes separadas, el flujo de salida del volumen original es igual a la suma del flujo de salida de cada volumen componente. [5] Esto es cierto a pesar del hecho de que los nuevos subvolúmenes tienen superficies que no eran parte de la superficie del volumen original, porque estas superficies son solo particiones entre dos de los subvolúmenes y el flujo a través de ellos simplemente pasa de un volumen al otro y por lo que se cancela cuando se suma el flujo de salida de los subvolúmenes.
Vea el diagrama. Un volumen cerrado y acotado V se divide en dos volúmenes V 1 y V 2 por una superficie S 3 (verde) . El flujo Φ ( V i ) de cada región componente V i es igual a la suma del flujo a través de sus dos caras, por lo que la suma del flujo de las dos partes es
donde Φ 1 y Φ 2 son el flujo que sale de las superficies S 1 y S 2 , Φ 31 es el flujo que pasa por S 3 del volumen 1 y Φ 32 es el flujo que pasa por S 3 del volumen 2. El punto es esa superficie S 3 es parte de la superficie de ambos volúmenes. La dirección "hacia afuera" del vector normal es opuesto para cada volumen, por lo que el flujo que sale de uno a través de S 3 es igual al negativo del flujo que sale del otro
por lo que estos dos flujos se cancelan en la suma. Por lo tanto
Dado que la unión de las superficies S 1 y S 2 es S
Este principio se aplica a un volumen dividido en cualquier número de partes, como se muestra en el diagrama. [5] Dado que la integral sobre cada partición interna (superficies verdes) aparece con signos opuestos en el flujo de los dos volúmenes adyacentes, se cancelan, y la única contribución al flujo es la integral sobre las superficies externas (gris) . Dado que las superficies externas de todos los volúmenes de los componentes son iguales a la superficie original.
El flujo Φ de cada volumen es la integral de superficie del campo vectorial F ( x ) sobre la superficie
El objetivo es dividir el volumen original en una infinidad de volúmenes infinitesimales. A medida que el volumen se divide en partes cada vez más pequeñas, la integral de superficie de la derecha, el flujo de salida de cada subvolumen, se acerca a cero porque el área de superficie S ( V i ) se acerca a cero. Sin embargo, a partir de la definición de divergencia , la relación de flujo a volumen,, la parte entre paréntesis a continuación, no desaparece en general, sino que se acerca a la divergencia div F cuando el volumen se acerca a cero. [5]
Siempre que el campo vectorial F ( x ) tenga derivadas continuas, la suma anterior se mantiene incluso en el límite cuando el volumen se divide en incrementos infinitamente pequeños
Como se acerca al volumen cero, se convierte en el infinitesimal dV , la parte entre paréntesis se convierte en la divergencia y la suma se convierte en una integral de volumen sobre V
Dado que esta derivación no tiene coordenadas, muestra que la divergencia no depende de las coordenadas utilizadas.
Corolarios
Reemplazando F en el teorema de la divergencia con formas específicas, se pueden derivar otras identidades útiles (cf. identidades vectoriales ). [4]
- Con para una función escalar gy un campo vectorial F ,
- Un caso especial de esto es , en cuyo caso el teorema es la base de las identidades de Green .
- Con para dos campos vectoriales F y G , donde denota un producto cruzado,
- Con para dos campos vectoriales F y G , donde denota un producto escalar,
- Con para una función escalar f y un campo vectorial c : [6]
- El último término de la derecha desaparece por constante o cualquier campo vectorial libre de divergencia (solenoide), por ejemplo, flujos incompresibles sin fuentes o sumideros como cambio de fase o reacciones químicas, etc. En particular, tomando ser constante:
- Con para el campo vectorial F y el vector constante c : [6]
- Al reordenar el producto triple en el lado derecho y sacar el vector constante de la integral,
- Por eso,
Ejemplo
Supongamos que deseamos evaluar
donde S es la esfera unitaria definida por
y F es el campo vectorial
El cálculo directo de esta integral es bastante difícil, pero podemos simplificar la derivación del resultado usando el teorema de divergencia, porque el teorema de divergencia dice que la integral es igual a:
donde W es la bola unitaria:
Dado que la función y es positiva en un hemisferio de W y negativa en el otro, de manera igual y opuesta, su integral total sobre W es cero. Lo mismo es cierto para z :
Por lo tanto,
porque la bola unitaria W tiene volumen 4 π/3.
Aplicaciones
Forma diferencial y forma integral de leyes físicas.
Como resultado del teorema de la divergencia, una serie de leyes físicas se pueden escribir tanto en forma diferencial (donde una cantidad es la divergencia de otra) como en forma integral (donde el flujo de una cantidad a través de una superficie cerrada es igual a otra). cantidad). Tres ejemplos son la ley de Gauss (en electrostática ), la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Gauss para la gravedad .
Ecuaciones de continuidad
Las ecuaciones de continuidad ofrecen más ejemplos de leyes con formas diferenciales e integrales, relacionadas entre sí por el teorema de la divergencia. En dinámica de fluidos , electromagnetismo , mecánica cuántica , teoría de la relatividad y varios otros campos, existen ecuaciones de continuidad que describen la conservación de masa, momento, energía, probabilidad u otras cantidades. Genéricamente, estas ecuaciones establecen que la divergencia del flujo de la cantidad conservada es igual a la distribución de fuentes o sumideros de esa cantidad. El teorema de la divergencia establece que cualquier ecuación de continuidad de este tipo se puede escribir en forma diferencial (en términos de divergencia) y en forma integral (en términos de flujo). [7]
Leyes del cuadrado inverso
En cambio, cualquier ley del cuadrado inverso puede escribirse en una forma de tipo ley de Gauss (con una forma diferencial e integral, como se describió anteriormente). Dos ejemplos son la ley de Gauss (en electrostática), que se sigue de la ley de Coulomb del cuadrado inverso , y la ley de la gravedad de Gauss , que se sigue de la ley de la gravitación universal de Newton del cuadrado inverso . La derivación de la ecuación de tipo ley de Gauss a partir de la formulación del cuadrado inverso o viceversa es exactamente la misma en ambos casos; consulte cualquiera de esos artículos para obtener más detalles. [7]
Historia
Joseph-Louis Lagrange introdujo la noción de integrales de superficie en 1760 y nuevamente en términos más generales en 1811, en la segunda edición de su Mécanique Analytique . Lagrange empleó integrales de superficie en su trabajo sobre mecánica de fluidos. [8] Descubrió el teorema de la divergencia en 1762. [9]
Carl Friedrich Gauss también estaba usando integrales de superficie mientras trabajaba en la atracción gravitacional de un esferoide elíptico en 1813, cuando demostró casos especiales del teorema de divergencia. [10] [8] Probó casos especiales adicionales en 1833 y 1839. [11] Pero fue Mikhail Ostrogradsky , quien dio la primera prueba del teorema general, en 1826, como parte de su investigación del flujo de calor. [12] George Green probó casos especiales en 1828 en Un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo , [13] [11] Siméon Denis Poisson en 1824 en un artículo sobre elasticidad y Frédéric Sarrus en 1828 en su obra sobre cuerpos flotantes. [14] [11]
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Para verificar la variante plana del teorema de divergencia para una región :
y el campo vectorial:
El límite de es el círculo unitario, , que se puede representar paramétricamente por:
tal que dónde unidades es la longitud del arco desde el punto al punto en . Entonces una ecuación vectorial de es
En un punto en :
Por lo tanto,
Porque , podemos evaluar , Y porque, . Por lo tanto
Ejemplo 2
Digamos que queremos evaluar el flujo del siguiente campo vectorial definido por limitada por las siguientes desigualdades:
Por el teorema de la divergencia,
Ahora necesitamos determinar la divergencia de . Si es un campo vectorial tridimensional, entonces la divergencia de es dado por .
Por lo tanto, podemos establecer la siguiente integral de flujo como sigue:
Ahora que hemos configurado la integral, podemos evaluarla.
Generalizaciones
Múltiples dimensiones
Se puede usar el teorema general de Stokes para igualar la integral de volumen n- dimensional de la divergencia de un campo vectorial F sobre una región U con la integral de superficie ( n - 1) -dimensional de F sobre el límite de U :
Esta ecuación también se conoce como teorema de divergencia.
Cuando n = 2 , esto es equivalente al teorema de Green .
Cuando n = 1 , se reduce a la integración por partes .
Campos tensores
Escribiendo el teorema en notación de Einstein :
sugestivamente, reemplazando el campo vectorial F con un campo tensor de rango n T , esto se puede generalizar a: [15]
donde en cada lado, la contracción del tensor ocurre para al menos un índice. Esta forma del teorema todavía está en 3d, cada índice toma valores 1, 2 y 3. Puede generalizarse aún más a dimensiones más altas (o más bajas) (por ejemplo, al espacio-tiempo 4d en la relatividad general [16] ).
Ver también
- Teorema de Kelvin-Stokes
Referencias
- ^ Katz, Victor J. (1979). "La historia del teorema de Stokes". Revista de Matemáticas . 52 (3): 146-156. doi : 10.2307 / 2690275 . JSTOR 2690275 . reimpreso en Anderson, Marlow (2009). ¿Quién te dio el épsilon ?: Y otros cuentos de historia matemática . Asociación Matemática de América. págs. 78–79. ISBN 978-0883855690.
- ^ RG Lerner ; GL Trigg (1994). Enciclopedia de Física (2ª ed.). VHC. ISBN 978-3-527-26954-9.
- ^ Byron, Frederick; Fuller, Robert (1992), Matemáticas de la física cuántica y clásica , Publicaciones de Dover, p. 22 , ISBN 978-0-486-67164-2
- ^ a b MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial . Esquemas de Schaum (2ª ed.). Estados Unidos: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
- ^ a b c Purcell, Edward M .; David J. Morin (2013). Electricidad y magnetismo . Cambridge Univ. Prensa. págs. 56–58. ISBN 978-1107014022.
- ^ a b MathWorld
- ^ a b CB Parker (1994). Enciclopedia de Física de McGraw Hill (2ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-051400-3.
- ^ a b Katz, Víctor (2009). "Capítulo 22: Análisis de vectores". Una historia de las matemáticas: una introducción . Addison-Wesley. págs. 808–9. ISBN 978-0-321-38700-4.
- ↑ En su artículo de 1762 sobre el sonido, Lagrange trata un caso especial del teorema de la divergencia: Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Nuevas investigaciones sobre la naturaleza y propagación del sonido), Miscellanea Taurinensia (también conocido como: Mélanges de Turin ), 2 : 11 - 172. Este artículo se reimprime como: "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" en: JA Serret, ed., Oeuvres de Lagrange , (París, Francia: Gauthier -Villars, 1867), vol. 1, páginas 151–316; en las páginas 263–265 , Lagrange transforma integrales triples en integrales dobles usando la integración por partes.
- ^ CF Gauss (1813) "Theoria Attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata", Commentationes societatis regiae scientiarium Gottingensis recentiores , 2 : 355-378; Gauss consideró un caso especial del teorema; vea las páginas 4, 5 y 6 de su artículo.
- ^ a b c Katz, Victor (mayo de 1979). "Una historia del teorema de Stokes" . Revista de Matemáticas . 52 (3): 146-156. doi : 10.1080 / 0025570X.1979.11976770 . JSTOR 2690275 .
- ↑ Mikhail Ostragradsky presentó su prueba del teorema de la divergencia a la Academia de París en 1826; sin embargo, su trabajo no fue publicado por la Academia. Regresó a San Petersburgo, Rusia, donde en 1828-1829 leyó el trabajo que había hecho en Francia, a la Academia de San Petersburgo, que publicó su trabajo en forma abreviada en 1831.
- Su prueba del teorema de la divergencia - "Demonstration d'un théorème du calcul intégral" (Prueba de un teorema en cálculo integral) - que había leído en la Academia de París el 13 de febrero de 1826, fue traducida en 1965 al ruso. con otro artículo suyo. Ver: Юшкевич А.П. (Yushkevich AP) y Антропова В.И. (Antropov VI) (1965) "Неопубликованные работы М.В. Остроградского" (obras no publicadas de MV Ostrogradskii), Историко-математические исследования (istoriko-Matematicheskie Issledovaniya / Históricos-matemático Estudios), 16 : 49-96; ver la sección titulada: "Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления" (Ostrogradskii MV Dokazatelstvo teorea de cálculo integral de Ostrogradskii MV Dokazatelstvo teorema odnoytraculisky)
- M. Ostrogradsky (presentado: 5 de noviembre de 1828; publicado: 1831) "Première note sur la théorie de la chaleur" (Primera nota sobre la teoría del calor) Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St. Pétersbourg , serie 6, 1 : 129-133; para una versión abreviada de su demostración del teorema de divergencia, vea las páginas 130-131.
- Victor J. Katz (mayo de 1979) "La historia del teorema de Stokes", archivado el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine Mathematics Magazine , 52 (3): 146-156; para la demostración de Ostragradsky del teorema de la divergencia, véanse las páginas 147-148.
- ^ George Green, Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo (Nottingham, Inglaterra: T. Wheelhouse, 1838). En las páginas 10-12 aparece una forma del "teorema de la divergencia".
- ^ Otros investigadores tempranos que utilizaron alguna forma del teorema de la divergencia incluyen:
- Poisson (presentado: 2 de febrero de 1824; publicado: 1826) "Mémoire sur la théorie du magnétisme" (Memoria sobre la teoría del magnetismo), Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France , 5 : 247–338; en las páginas 294–296, Poisson transforma una integral de volumen (que se usa para evaluar una cantidad Q) en una integral de superficie. Para realizar esta transformación, Poisson sigue el mismo procedimiento que se utiliza para demostrar el teorema de la divergencia.
- Frédéric Sarrus (1828) "Mémoire sur les oscillations des corps flottans" (Memoria sobre las oscilaciones de los cuerpos flotantes), Annales de mathématiques pures et appliquées (Nismes), 19 : 185-211.
- ^ KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
- ^ ver por ejemplo:
JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 85-86, §3.5. ISBN 978-0-7167-0344-0., y
R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
enlaces externos
- "Fórmula de Ostrogradski" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Operadores diferenciales y el teorema de divergencia en MathPages
- El teorema de la divergencia (Gauss) de Nick Bykov, Wolfram Demonstrations Project .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de divergencia" . MathWorld .- Este artículo se basó originalmente en el artículo de GFDL de PlanetMath en https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html