La transformada de Kelvin es un dispositivo utilizado en la teoría clásica del potencial para ampliar el concepto de función armónica , al permitir la definición de una función que es 'armónica en el infinito'. Esta técnica también se utiliza en el estudio de funciones subarmónicas y superarmónicas .
Para definir la transformada de Kelvin f * de una función f , es necesario considerar primero el concepto de inversión en una esfera en R n de la siguiente manera.
Es posible utilizar la inversión en cualquier esfera, pero las ideas son más claras cuando se considera una esfera con centro en el origen.
Dada una esfera fija S (0, R ) con centro 0 y radio R , la inversión de un punto x en R n se define como
Un efecto útil de esta inversión es que el origen 0 es la imagen de , y es la imagen de 0. Bajo esta inversión, las esferas se transforman en esferas, y el exterior de una esfera se transforma en el interior, y viceversa.
La transformada de Kelvin de una función se define entonces por:
Si D es un subconjunto abierto de R n que no contiene 0, entonces para cualquier función f definida en D , la transformada de Kelvin f * de f con respecto a la esfera S (0, R ) es
Una de las propiedades importantes de la transformada de Kelvin, y la principal razón detrás de su creación, es el siguiente resultado:
- Sea D un subconjunto abierto en R n que no contiene el origen 0. Entonces una función u es armónica, subarmónica o superarmónica en D si y solo si la transformada de Kelvin u * con respecto a la esfera S (0, R ) es armónico, subarmónico o superarmónico en D * .
Esto se sigue de la fórmula
Ver también
Referencias
- William Thomson, Lord Kelvin (1845) "Extrait d'une lettre de M. William Thomson à M. Liouville", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 10: 364–7
- William Thompson (1847) "Extraits deux lettres adressees à M. Liouville, par M. William Thomson", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 12: 556–64
- JL Doob (2001). Teoría del potencial clásico y su contraparte probabilística . Springer-Verlag. pag. 26. ISBN 3-540-41206-9.
- LL Helms (1975). Introducción a la teoría del potencial . RE Krieger. ISBN 0-88275-224-3.
- OD Kellogg (1953). Fundamentos de la teoría del potencial . Dover. ISBN 0-486-60144-7.
- John Wermer (1981) Teoría del potencial 2da edición, página 84, Lecture Notes in Mathematics # 408 ISBN 3-540-10276-0