Las transformaciones de ondas esféricas dejan la forma de ondas esféricas , así como las leyes de la óptica y la electrodinámica, invariantes en todos los marcos inerciales . Fueron definidos entre 1908 y 1909 por Harry Bateman y Ebenezer Cunningham , y Bateman le dio su nombre a la transformación. [M 1] Corresponden al grupo conforme de "transformaciones por radios recíprocos" en relación con el marco de la geometría de la esfera de Lie , que ya se conocían en el siglo XIX. El tiempo se utiliza como cuarta dimensión como en el espacio de Minkowski., por lo que las transformaciones de ondas esféricas están conectadas a la transformación de Lorentz de la relatividad especial , y resulta que el grupo conforme del espacio-tiempo incluye al grupo de Lorentz y al grupo de Poincaré como subgrupos. Sin embargo, solo los grupos de Lorentz / Poincaré representan simetrías de todas las leyes de la naturaleza, incluida la mecánica, mientras que el grupo conforme está relacionado con ciertas áreas como la electrodinámica. [1] [2] [3] Además, se puede demostrar que el grupo conforme del plano (correspondiente al grupo de Möbius del plano complejo extendido ) es isomorfo al grupo de Lorentz. [4]
Un caso especial de la geometría de la esfera de Lie es la transformación por direcciones recíprocas o inversión de Laguerre, siendo un generador del grupo de Laguerre . Transforma no solo esferas en esferas, sino también planos en planos. [5] [6] [7] Si se utiliza el tiempo como cuarta dimensión, varios autores como Bateman, Cartan o Poincaré señalaron una estrecha analogía con la transformación de Lorentz, así como un isomorfismo con el grupo de Lorentz . [M 2] [8] [M 3] [9] [10] [11] [12] [13]
Transformación por radios recíprocos
Desarrollo en el siglo XIX
Las inversiones que preservan los ángulos entre círculos fueron discutidas por primera vez por Durrande (1820), con Quetelet (1827) y Plücker (1828) escribiendo la fórmula de transformación correspondiente,siendo el radio de inversión: [14]
- .
Estas inversiones se denominaron más tarde "transformaciones por radios recíprocos", y se hicieron más conocidas cuando Thomson (1845, 1847) las aplicó en esferas con coordenadas.en el curso del desarrollo del método de inversión en electrostática . [15] Joseph Liouville (1847) demostró su significado matemático mostrando que pertenece a las transformaciones conformes que producen la siguiente forma cuadrática : [M 4]
- .
El mismo Liouville [M 5] y más extensamente Sophus Lie (1871) [M 6] mostraron que el grupo conforme relacionado se puede diferenciar ( teorema de Liouville ): Por ejemplo,incluye el grupo euclidiano de movimientos ordinarios; Transformaciones de escala o semejanza en las que las coordenadas de las transformaciones anteriores se multiplican por; yda la transformación de Thomson por radios recíprocos (inversiones): [M 5]
- .
Posteriormente, el teorema de Liouville se amplió a dimensiones de Lie (1871) [M 6] y otros como Darboux (1878): [M 7]
- .
Este grupo de transformaciones conformes por radios recíprocos conserva ángulos y transforma esferas en esferas o hiperesferas (ver transformación de Möbius , simetría conforme , transformación conforme especial ). Es un grupo de 6 parámetros en el plano R 2 que corresponde al grupo de Möbius del plano complejo extendido , [16] [4] un grupo de 10 parámetros en el espacio R 3 y un grupo de 15 parámetros en R 4 . En R 2 representa solo un pequeño subconjunto de todas las transformaciones conformes, mientras que en R 2 + n es idéntico al grupo de todas las transformaciones conformes (correspondientes a las transformaciones de Möbius en dimensiones superiores), de acuerdo con el teorema de Liouville. [16] Las transformaciones conformes en R 3 se aplicaron a menudo a lo que Darboux (1873) llamó "coordenadas pentasféricas" al relacionar los puntos con coordenadas homogéneas basadas en cinco esferas. [17] [18]
Esferas orientadas
Otro método para resolver estos problemas de esferas era escribir las coordenadas junto con el radio de la esfera. [19] Esto fue empleado por Lie (1871) en el contexto de la geometría de esferas de Lie, que representa un marco general de transformaciones de esferas (siendo un caso especial de transformaciones de contacto ) conservando líneas de curvatura y transformando esferas en esferas. [M 8] El grupo de 10 parámetros mencionado anteriormente en R 3 relacionado con las coordenadas pentasféricas se extiende al grupo de 15 parámetros de las transformaciones de la esfera de Lie relacionadas con las "coordenadas hexasféricas" (nombradas por Klein en 1893) agregando una sexta coordenada homogénea relacionada al radio. [M 9] [17] [20] Dado que el radio de una esfera puede tener un signo positivo o negativo, una esfera siempre corresponde a dos esferas transformadas. Es ventajoso eliminar esta ambigüedad atribuyendo un signo definido al radio, dando consecuentemente a las esferas también una orientación definida, de modo que una esfera orientada corresponda a una esfera orientada transformada. [21] Este método fue empleado ocasional e implícitamente por el propio Lie (1871) [M 6] e introducido explícitamente por Laguerre (1880). [M 10] Además, Darboux (1887) llevó las transformaciones por radios recíprocos a una forma mediante la cual se puede determinar el radio r de una esfera si se conoce el radio de la otra: [M 11]
El uso de coordenadas junto con el radio a menudo se relacionó con un método llamado "proyección mínima" por Klein (1893), [M 12] que luego fue llamado "proyección de isotropía" por Blaschke (1926) enfatizando la relación con círculos y esferas orientadas. [22] Por ejemplo, un círculo con coordenadas rectangulares y radio en R 2 corresponde a un punto en R 3 con coordenadas. Este método se conoce desde hace algún tiempo en la geometría circular (aunque sin utilizar el concepto de orientación) y se puede diferenciar aún más dependiendo de si la coordenada adicional se trata como imaginaria o real:fue utilizado por Chasles (1852), Möbius (1857), Cayley (1867) y Darboux (1872); [M 13] fue utilizado por Cousinery (1826), Druckenmüller (1842), y en la "ciclografía" de Fiedler (1882), por lo que este último método también se llamó "proyección ciclográfica" - ver E. Müller (1910) para un resumen. [23] Este método también fue aplicado a esferas [M 14] por Darboux (1872), [M 15] Lie (1871), [M 6] o Klein (1893). [M 12] Vamos y ser las coordenadas centrales y los radios de dos esferas en el espacio tridimensional R 3 . Si las esferas se tocan entre sí con la misma orientación, se da su ecuación
- .
Configuración , estas coordenadas corresponden a coordenadas rectangulares en el espacio de cuatro dimensiones R 4 : [M 15] [M 12]
- .
En general, Lie (1871) mostró que las transformaciones de puntos conformes en R n (compuestas de movimientos, similitudes y transformaciones por radios recíprocos) corresponden en R n-1 a aquellas transformaciones de esfera que son transformaciones de contacto . [M 16] [24] Klein (1893) señaló que al usar una proyección mínima en coordenadas hexasféricas, las transformaciones de la esfera de Lie de 15 parámetros en R 3 son simplemente las proyecciones de las transformaciones de puntos de conformidad de 15 parámetros en R 4 , mientras que los puntos en R 4 pueden verse como la proyección estereográfica de los puntos de una esfera en R 5 . [M 9] [25]
Relación con la electrodinámica
Harry Bateman y Ebenezer Cunningham (1909) [M 1] demostraron que las ecuaciones electromagnéticas no solo son invariantes de Lorentz, sino también de escala y conforme. [26] Son invariantes bajo el grupo de 15 parámetros de transformaciones conformes.(transformaciones por radios recíprocos) en R 4 produciendo la relación
- ,
dónde incluye como componente de tiempo y como la velocidad de la luz . Bateman (1909) también notó la equivalencia con las transformaciones de la esfera de Lie mencionadas anteriormente en R 3 , porque el radio utilizado en ellos se puede interpretar como el radio de una onda esférica contrayéndose o expandiéndose con , por eso las llamó "transformaciones de ondas esféricas". [M 17] Él escribió: [M 18]
Cuando usamos la representación de Darboux de un punto en por una onda esférica en , el grupo se convierte en el grupo de transformaciones de ondas esféricas que transforman una onda esférica en una onda esférica. Este grupo de transformaciones ha sido discutido por S. Lie; es el conjunto de transformaciones que transforman líneas de curvatura en una superficie envuelta por ondas esféricas en líneas de curvatura en la superficie envuelta por las correspondientes ondas esféricas.
Dependiendo de se pueden diferenciar en subgrupos: [27]
(a) corresponden a mapeos que transforman no sólo esferas en esferas sino también planos en planos. Estas se denominan transformaciones / inversiones de Laguerre que forman el grupo de Laguerre, que en física corresponden a las transformaciones de Lorentz que forman el grupo de Lorentz de 6 parámetros o el grupo de Poincaré de 10 parámetros con traslaciones. [28]
(B) representa transformaciones de escala o semejanza mediante la multiplicación de las variables espacio-temporales de las transformaciones de Lorentz por un factor constante que depende de. [29] Por ejemplo, sise utiliza, entonces sigue la transformación dada por Poincaré en 1905: [M 19]
- .
Sin embargo, Poincaré y Einstein demostraron que solo produce un grupo que es una simetría de todas las leyes de la naturaleza como lo requiere el principio de relatividad (el grupo de Lorentz), mientras que el grupo de transformaciones de escala es solo una simetría de la óptica y la electrodinámica.
(c) Entorno particularmente se refiere al amplio grupo conformal de transformaciones por radios recíprocos. Consiste en transformaciones elementales que representan una inversión generalizada en una hiperesfera de cuatro dimensiones : [30]
que se convierten en transformaciones de ondas esféricas reales en términos de geometría de la esfera de Lie si el radio real se usa en lugar de , por lo tanto se da en el denominador. [M 1]
Felix Klein (1921) señaló la similitud de estas relaciones con las investigaciones de Lie y sus propias de 1871, agregando que el grupo conforme no tiene el mismo significado que el grupo de Lorentz, porque el primero se aplica a la electrodinámica mientras que el segundo es una simetría de todas las leyes de la naturaleza, incluida la mecánica. [M 20] La posibilidad se discutió durante algún tiempo, si las transformaciones conformes permiten la transformación en marcos uniformemente acelerados. [31] Más tarde, la invariancia conforme se volvió importante nuevamente en ciertas áreas como la teoría de campos conforme . [32]
Grupo de Lorentz isomorfo al grupo de Möbius
Resulta que también el grupo conformal de 6 parámetros de R 2 (es decir, el grupo de Möbius compuesto por automorfismos de la esfera de Riemann ), [4] que a su vez es isomorfo al grupo de 6 parámetros de movimientos hiperbólicos (es decir, automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico ) en R 3 , [33] se puede interpretar físicamente: es isomorfo al grupo de Lorentz.
Por ejemplo, Fricke y Klein (1897) comenzaron por definir una métrica de Cayley "absoluta" en términos de una superficie curvilínea de una parte de segundo grado, que puede ser representada por una esfera cuyo interior representa el espacio hiperbólico con la ecuación [34]
- ,
dónde son coordenadas homogéneas. Señalaron que los movimientos del espacio hiperbólico en sí mismo también transforman esta esfera en sí mismo. Desarrollaron la transformación correspondiente definiendo un parámetro complejode la esfera [35]
que está conectado a otro parámetro por la sustitución
dónde son coeficientes complejos. Además, demostraron que al establecer, las relaciones anteriores asumen la forma en términos de la esfera unitaria en R 3 : [36]
- .
que es idéntica a la proyección estereográfica de la -plano sobre una superficie esférica ya dado por Klein en 1884. [M 21] Dado que las sustitucionesson las transformaciones de Möbius ( alemán : Kreisverwandtschaften ) en el-plano o sobre el -esfera, concluyeron que al llevar a cabo un movimiento arbitrario del espacio hiperbólico en sí mismo, el -esfera sufre una transformación de Möbius, que todo el grupo de movimientos hiperbólicos da todas las transformaciones directas de Möbius, y finalmente que cualquier transformación directa de Möbius corresponde a un movimiento del espacio hiperbólico. [37]
Basado en el trabajo de Fricke & Klein, Gustav Herglotz (1909) demostró el isomorfismo de ese grupo de movimientos hiperbólicos (y consecuentemente del grupo de Möbius) al grupo de Lorentz . [M 22] Es decir, la métrica de Minkowski corresponde a la métrica de Cayley anterior (basada en una sección cónica real), si las coordenadas del espacio-tiempo se identifican con las coordenadas homogéneas anteriores.
- ,
por el cual el parámetro anterior se convierte
- de nuevo conectado por la sustitución .
Herglotz concluyó que cualquier sustitución de este tipo corresponde a una transformación de Lorentz, estableciendo una correspondencia uno a uno con los movimientos hiperbólicos en R 3 . La relación entre el grupo de Lorentz y la métrica de Cayley en el espacio hiperbólico también fue señalada por Klein (1910) [M 23] así como por Pauli (1921). [38] El isomorfismo correspondiente del grupo de Möbius al grupo de Lorentz fue empleado, entre otros, por Roger Penrose .
Transformación por direcciones recíprocas
Desarrollo en el siglo XIX
Arriba, se mencionó la conexión de transformaciones conformes con coordenadas que incluyen el radio de esferas dentro de la geometría de las esferas de Lie. El caso especialcorresponde a una transformación de esfera dada por Edmond Laguerre (1880-1885), quien la llamó la "transformación por direcciones recíprocas" y quien sentó las bases de una geometría de esferas y planos orientados . [M 10] [5] [6] Según Darboux [M 24] y Bateman, [M 2] relaciones similares fueron discutidas antes por Albert Ribaucour (1870) [M 25] y por el mismo Lie (1871). [M 6] Stephanos (1881) señaló que la geometría de Laguerre es de hecho un caso especial de la geometría de la esfera de Lie. [M 26] También representó las esferas orientadas de Laguerre por cuaterniones (1883). [M 27]
Las líneas, círculos, planos o esferas con radios de cierta orientación son llamados por Laguerre semilíneas, semicírculos (ciclos), semiplanos, semiesferas, etc. Una tangente es una semilínea que corta un ciclo en un punto donde ambos tienen la misma dirección. La transformación por direcciones recíprocas transforma esferas orientadas en esferas orientadas y planos orientados en planos orientados, dejando invariante la "distancia tangencial" de dos ciclos (la distancia entre los puntos de cada una de sus tangentes comunes), y también conserva las líneas de curvatura. . [39] Laguerre (1882) aplicó la transformación a dos ciclos bajo las siguientes condiciones: Su eje radical es el eje de transformación, y sus tangentes comunes son paralelas a dos direcciones fijas de las medias líneas que se transforman en sí mismas (Laguerre llamó este método específico la "transformación por medias líneas recíprocas", que más tarde se denominó "inversión de Laguerre" [40] [41] ). Configuración y como los radios de los ciclos, y y como las distancias de sus centros al eje, obtuvo: [M 28]
con la transformación: [M 29]
Darboux (1887) obtuvo las mismas fórmulas en diferente notación (con y ) en su tratamiento de la "transformación por direcciones recíprocas", aunque incluyó la y también coordenadas: [M 30]
con
consecuentemente obtuvo la relación
- .
Como se mencionó anteriormente, las esferas orientadas en R 3 se pueden representar mediante puntos del espacio de cuatro dimensiones R 4 utilizando una proyección mínima (isotropía), que se volvió particularmente importante en la geometría de Laguerre. [5] Por ejemplo, E. Müller (1898) basó su análisis de las esferas orientadas en el hecho de que pueden mapearse sobre los puntos de una variedad plana de cuatro dimensiones (que comparó con la "ciclografía" de Fiedler de 1882). Él comparó sistemáticamente las transformaciones por radios recíprocos (llamándolo "inversión en una esfera") con las transformaciones por direcciones recíprocas (llamándolo "inversión en un complejo de esfera plana"). [M 31] Siguiendo el artículo de Müller, Smith (1900) discutió la transformación de Laguerre y el "grupo relacionado de la geometría de direcciones recíprocas". Aludiendo al tratamiento de Klein (1893) de la proyección mínima, señaló que este grupo "es simplemente isomorfo con el grupo de todos los desplazamientos y transformaciones de simetría en el espacio de cuatro dimensiones". [M 32] Smith obtuvo la misma transformación que Laguerre y Darboux en notación diferente, llamándola "inversión en un complejo esférico": [M 33]
con las relaciones
Inversión de Laguerre y transformación de Lorentz
En 1905, tanto Poincaré y Einstein señalaron que la transformación de Lorentz de la relatividad especial (ajuste)
deja la relación invariante. [2] Einstein hizo hincapié en el hecho de que mediante esta transformación una onda de luz esférica en un fotograma se transforma en una onda de luz esférica en otro. [42] Poincaré demostró que la transformación de Lorentz puede verse como una rotación en el espacio de cuatro dimensiones con el tiempo como cuarta coordenada, y Minkowski profundizó mucho más en esta idea (ver Historia de la relatividad especial ).
Como se muestra arriba, también la transformación de Laguerre por direcciones recíprocas o medias líneas - más tarde llamada inversión de Laguerre [40] [41] - en la forma dada por Darboux (1887) deja la expresióninvariante. Posteriormente, varios autores señalaron la relación con la transformación de Lorentz. Por ejemplo, Bateman (1910) argumentó que esta transformación (que atribuyó a Ribaucour) es "idéntica" a la transformación de Lorentz. [M 2] En particular, argumentó (1912) que la variante dada por Darboux (1887) corresponde a la transformación de Lorentz en dirección, si , , y el los términos se reemplazan por velocidades. [M 34] Bateman (1910) también esbozó representaciones geométricas de esferas de luz relativistas utilizando tales sistemas esféricos. [M 35] [43] Sin embargo, Kubota (1925) respondió a Bateman argumentando que la inversión de Laguerre es involutiva mientras que la transformación de Lorentz no lo es. Concluyó que para hacerlos equivalentes, la inversión de Laguerre debe combinarse con una inversión de dirección de los ciclos. [M 36]
La relación específica entre la transformación de Lorentz y la inversión de Laguerre también se puede demostrar de la siguiente manera (ver HR Müller (1948) [M 37] para fórmulas análogas en notación diferente). Las fórmulas de inversión de Laguerre de 1882 (equivalentes a las de Darboux en 1887) dicen:
configurando
sigue
finalmente estableciendo la inversión de Laguerre se vuelve muy similar a la transformación de Lorentz excepto que la expresión se invierte en :
- .
Según Müller, la transformación de Lorentz puede verse como el producto de un número par de tales inversiones de Laguerre que cambian el signo. Primero se lleva a cabo una inversión en el plano que está inclinado con respecto al plano bajo un cierto ángulo, seguido de otra inversión de nuevo a . [M 37] Consulte la sección #Grupo Laguerre isomorfo al grupo de Lorentz para obtener más detalles sobre la conexión entre la inversión de Laguerre y otras variantes de transformaciones de Laguerre.
Transformación de Lorentz dentro de la geometría de Laguerre
Timerding (1911) [M 38] utilizó el concepto de esferas orientadas de Laguerre para representar y derivar la transformación de Lorentz. Dada una esfera de radio, con como la distancia entre su centro y el plano central, obtuvo las relaciones con una esfera correspondiente
resultando en la transformación
Configurando y , se convierte en la transformación de Lorentz.
Siguiendo a Timerding y Bateman, Ogura (1913) analizó una transformación de Laguerre de la forma [M 39]
- ,
que se convierten en la transformación de Lorentz con
- .
Afirmó que "la transformación de Laguerre en la multiplicidad de esferas es equivalente a la transformación de Lorentz en la multiplicidad del espacio-tiempo".
Grupo Laguerre isomorfo al grupo Lorentz
Como se muestra arriba, el grupo de transformaciones de puntos conformes en R n (compuesto de movimientos, similitudes e inversiones) puede relacionarse por proyección mínima con el grupo de transformaciones de contacto en R n-1 transformando círculos o esferas en otros círculos o esferas. Además, Lie (1871, 1896) señaló que en R 3 hay un subgrupo de transformaciones puntuales de 7 parámetros compuesto por movimientos y similitudes, que al usar proyección mínima corresponde a un subgrupo de transformaciones de contacto de 7 parámetros en R 2 transformando círculos en círculos. [M 40] Estas relaciones fueron estudiadas más a fondo por Smith (1900), [M 32] Blaschke (1910), [M 41] Coolidge (1916) [44] y otros, quienes señalaron la conexión con la geometría de Laguerre de direcciones recíprocas relacionadas a líneas, círculos, planos y esferas orientadas. Por lo tanto, Smith (1900) lo llamó el "grupo de la geometría de direcciones recíprocas", [M 32] y Blaschke (1910) utilizó la expresión "grupo de Laguerre". [M 41] El "grupo de Laguerre extendido" consiste en movimientos y similitudes, teniendo 7 parámetros en R 2 transformando líneas y círculos orientados, u 11 parámetros en R 3 transformando planos y esferas orientadas. Si se excluyen las similitudes, se convierte en el "grupo de Laguerre restringido" que tiene 6 parámetros en R 2 y 10 parámetros en R 3 , que consisten en movimientos de conservación de orientación o de inversión de orientación y preservación de la distancia tangencial entre círculos o esferas orientadas. [M 42] [45] Posteriormente, se hizo común que el término grupo Laguerre solo se refiera al grupo restringido Laguerre. [45] [46] También se señaló que el grupo de Laguerre es parte de un grupo más amplio que conserva distancias tangenciales, llamado "grupo equilong" por Scheffers (1905). [M 43] [47]
En R 2 el grupo de Laguerre deja invariante la relación, que también se puede extender a R n arbitrario . [48] Por ejemplo, en R 3 deja invariante la relación. [49] Esto es equivalente a la relaciónen R 4 usando proyección mínima (isotropía) con coordenada de radio imaginaria , o proyección ciclográfica (en geometría descriptiva ) con coordenada de radio real. [9] Las transformaciones que forman el grupo de Laguerre se pueden diferenciar aún más en "transformaciones directas de Laguerre" que están relacionadas con movimientos que preservan tanto la distancia tangencial como el signo; o "transformaciones indirectas de Laguerre" que se relacionan con movimientos de inversión de orientación, conservando la distancia tangencial con el signo invertido. [M 43] [50] La inversión de Laguerre dada por primera vez por Laguerre en 1882 es involutiva , por lo que pertenece a las transformaciones indirectas de Laguerre. El mismo Laguerre no discutió el grupo relacionado con su inversión, pero resultó que cada transformación de Laguerre puede ser generada por un máximo de cuatro inversiones de Laguerre y cada transformación de Laguerre directa es el producto de dos transformaciones involutivas, por lo que las inversiones de Laguerre son de especial importancia porque son operadores generadores de todo el grupo Laguerre. [M 44] [51]
Se observó que el grupo de Laguerre es de hecho isomorfo al grupo de Lorentz (o al grupo de Poincaré si se incluyen traducciones), ya que ambos grupos dejan invariable la forma. Después de la primera comparación de la transformación de Lorentz y la inversión de Laguerre por Bateman (1910) como se mencionó anteriormente , Cartan señaló la equivalencia de ambos grupos en 1912 [M 45] y 1914, [M 46] y la amplió en 1915 (publicado en 1955) en la versión francesa de la enciclopedia de Klein . [8] También Poincaré (1912, publicado en 1921) escribió: [M 3] [52]
El Sr. Cartan ha dado recientemente un ejemplo curioso. Conocemos la importancia en física matemática de lo que se ha llamado el grupo de Lorentz; es en este grupo en el que se basan nuestras nuevas ideas sobre el principio de relatividad y la dinámica del electrón. Por otro lado, Laguerre una vez introdujo en la geometría un conjunto de transformaciones que transforman las esferas en esferas. Estos dos grupos son isomorfos, por lo que matemáticamente estas dos teorías, una física y la otra geométrica, no muestran diferencia esencial. [M 47]
- Henri Poincaré, 1912
Otros que notaron esta conexión incluyen Coolidge (1916), [9] Klein & Blaschke (1926), [10] Blaschke (1929), [11] HR Müller , [M 48] Kunle & Fladt (1970), [12] Benz (1992). [13] Recientemente se señaló:
Una transformación de Laguerre (transformada L) es un mapeo que es biyectivo en los conjuntos de planos orientados y esferas orientadas, respectivamente, y conserva la tangencia entre el plano y la esfera. Las transformadas en L se entienden más fácilmente si utilizamos el llamado modelo ciclográfico de la geometría de Laguerre. Allí, una esfera orientada se representa como punto . Un plano orientado en puede interpretarse como el conjunto de todas las esferas orientadas que son tangentes a . Cartografía a través de este conjunto de esferas en , uno encuentra un hiperplano en que es paralelo a un hiperplano tangente del cono . En el modelo ciclográfico, una transformada L se ve como un mapa afín especial (transformación de Lorentz), ...
- Pottmann, Grohs, Mitra (2009) [53]
Ver también
- Historia de las transformaciones de Lorentz
Fuentes primarias
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