En matemáticas , las funciones subarmónicas y superarmónicas son clases importantes de funciones que se utilizan ampliamente en ecuaciones diferenciales parciales , análisis complejo y teoría del potencial .
Intuitivamente, las funciones subarmónicas están relacionadas con las funciones convexas de una variable de la siguiente manera. Si la gráfica de una función convexa y una línea se cruzan en dos puntos, entonces la gráfica de la función convexa está debajo de la línea entre esos puntos. De la misma manera, si los valores de una función subarmónica no son mayores que los valores de una función armónica en el límite de una bola , entonces los valores de la función subarmónica no son mayores que los valores de la función armónica también dentro de la bola. .
Las funciones superarmónicas se pueden definir con la misma descripción, solo reemplazando "no más grande" por "no más pequeño". Alternativamente, una función superarmónica es solo el negativo de una función subarmónica y, por esta razón, cualquier propiedad de las funciones subarmónicas se puede transferir fácilmente a funciones superarmónicas.
Definicion formal
Formalmente, la definición se puede enunciar de la siguiente manera. Dejarser un subconjunto del espacio euclidiano y deja
ser una función semicontinua superior . Luego,se llama subarmónico si para cualquier bola cerrada del centro y radio contenida en y cada verdadero -valued función continua en eso es armónico en y satisface para todos en el límite de tenemos para todos
Tenga en cuenta que por lo anterior, la función que es idénticamente −∞ es subarmónica, pero algunos autores excluyen esta función por definición.
Una función se llama superarmónico si es subarmónico.
Propiedades
- Una función es armónica si y solo si es tanto subarmónica como superarmónica.
- Si es C 2 ( dos veces diferenciable de forma continua ) en un conjunto abierto en , luego es subarmónico si y solo si uno tiene en , dónde es el laplaciano .
- El máximo de una función subarmónica no se puede alcanzar en el interior de su dominio a menos que la función sea constante, este es el llamado principio máximo . Sin embargo, el mínimo de una función subarmónica se puede lograr en el interior de su dominio.
- Las funciones subarmónicas forman un cono convexo , es decir, una combinación lineal de funciones subarmónicas con coeficientes positivos también es subarmónica.
- El máximo puntual de dos funciones subarmónicas es subarmónico.
- El límite de una secuencia decreciente de funciones subarmónicas es subarmónico (o idénticamente igual a ).
- Las funciones subarmónicas no son necesariamente continuas en la topología habitual, sin embargo, se puede introducir la topología fina que las hace continuas.
Ejemplos de
Si es analítico entonceses subarmónico. Se pueden construir más ejemplos utilizando las propiedades enumeradas anteriormente, tomando máximos, combinaciones convexas y límites. En la dimensión 1, todas las funciones subarmónicas se pueden obtener de esta forma.
Teorema de representación de Riesz
Si es subarmónico en una región , en el espacio euclidiano de dimensión, es armónico en , y , luego se llama majorant armónico de . Si existe un armónico mayor, entonces existe el menor armónico mayor, y
mientras que en la dimensión 2,
dónde es el majorant menos armónico, y es una medida de Borel en. A esto se le llama teorema de representación de Riesz .
Funciones subarmónicas en el plano complejo
Las funciones subarmónicas son de particular importancia en el análisis complejo , donde están íntimamente conectadas con funciones holomórficas .
Se puede demostrar que una función continua de valor real de una variable compleja (es decir, de dos variables reales) definida en un conjunto es subarmónico si y solo si para cualquier disco cerrado del centro y radio uno tiene
Intuitivamente, esto significa que una función subarmónica en cualquier punto no es mayor que el promedio de los valores en un círculo alrededor de ese punto, un hecho que puede usarse para derivar el principio máximo .
Si es una función holomórfica, entonces
es una función subarmónica si definimos el valor de en los ceros de ser −∞. Resulta que
es subarmónico para todo α > 0. Esta observación juega un papel en la teoría de los espacios de Hardy , especialmente para el estudio de H p cuando 0 < p <1.
En el contexto del plano complejo, la conexión con las funciones convexas también se puede realizar por el hecho de que una función subarmónica en un dominio que es constante en la dirección imaginaria es convexa en la dirección real y viceversa.
Mayores armónicos de funciones subarmónicas
Si es subarmónico en una región del plano complejo, y es armónico en, luego es un majorant armónico de en Si ≤ en . Tal desigualdad puede verse como una condición de crecimiento en. [1]
Funciones subarmónicas en el disco de la unidad. Función máxima radial
Sea φ subarmónico, continuo y no negativo en un subconjunto abierto Ω del plano complejo que contiene el disco unitario cerrado D (0, 1). La función radial máxima para la función φ (restringida al disco unitario) se define en el círculo unitario por
Si P r denota el núcleo de Poisson , se sigue de la subarmonicidad que
Se puede demostrar que la última integral es menor que el valor en e i θ de la función máxima de Hardy-Littlewood φ ∗ de la restricción de φ al círculo unitario T ,
de modo que 0 ≤ M φ ≤ φ ∗ . Se sabe que el operador de Hardy-Littlewood está acotado en L p ( T ) cuando 1 < p <∞. De ello se deduce que para alguna constante universal C ,
Si f es una función holomórfica en Ω y 0 < p <∞, entonces la desigualdad anterior se aplica a φ = | f | p / 2 . Se puede deducir de estos hechos que cualquier función F en el espacio clásico de Hardy H p satisface
Con más trabajo, se puede demostrar que F tiene límites radiales F (e i θ ) casi en todas partes del círculo unitario y (por el teorema de convergencia dominado ) que F r , definido por F r (e i θ ) = F ( r e i θ ) tiende a F en L p ( T ).
Funciones subarmónicas en variedades riemannianas
Las funciones subarmónicas se pueden definir en una variedad riemanniana arbitraria .
Definición: Sea M una variedad de Riemann, yuna función semicontinua superior . Suponga que para cualquier subconjunto abierto, y cualquier función armónica f 1 en U , tal queen el límite de U , la desigualdadejerce sobre todo T . Entonces f se llama subarmónico .
Esta definición es equivalente a la dada anteriormente. Además, para funciones dos veces diferenciables, la subarmonicidad es equivalente a la desigualdad, dónde es el laplaciano habitual . [2]
Ver también
- Función plurisubarmónica : generalización a varias variables complejas
- Topología fina clásica
Notas
- ^ Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994), p. 35 (ver Referencias)
- ^ Greene, RE; Wu, H. (1974). "Integrales de funciones subarmónicas en variedades de curvatura no negativa". Inventiones Mathematicae . 27 (4): 265-298. doi : 10.1007 / BF01425500 ., Señor0382723
Referencias
- Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
- Krantz, Steven G. (1992). Teoría de funciones de varias variables complejas . Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2724-3.
- Doob, Joseph Leo (1984). Teoría del potencial clásico y su contraparte probabilística . Berlín Heidelberg Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9.
- Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Temas en clases Hardy y funciones univalentes . Textos avanzados Birkhauser: libros de texto de Basilea. Basilea: Birkhauser Verlag.
Este artículo incorpora material de las funciones de subarmónicos y superarmónicos en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .