La serie de Kempner es una modificación de la serie armónica , formada al omitir todos los términos cuyo denominador expresado en base 10 contiene el dígito 9. Es decir, es la suma
donde el primo indica que n solo toma valores cuya expansión decimal no tiene nueves. La serie fue estudiada por primera vez por AJ Kempner en 1914. [1] La serie es contradictoria porque, a diferencia de la serie armónica, converge. Kempner mostró que la suma de esta serie es menor que 80. Baillie [2] mostró que, redondeado a 20 decimales, la suma real es 22,92067 66192 64150 34816 (secuencia A082838 en la OEIS ).
Heurísticamente, esta serie converge porque la mayoría de los números enteros grandes contienen todos los dígitos. Por ejemplo, es muy probable que un entero aleatorio de 100 dígitos contenga al menos un '9', lo que hace que se excluya de la suma anterior.
Schmelzer y Baillie [3] encontraron un algoritmo eficiente para el problema más general de cualquier cadena de dígitos omitida. Por ejemplo, la suma de1/nortedonde n tiene ningún caso de "42" es de aproximadamente 228,44630 41592 30813 25415 . Otro ejemplo: la suma de 1/nortedonde n no tiene ninguna ocurrencia de la cadena de dígitos "314159" es aproximadamente 2302582,33386 37826 07892 02376 . (Todos los valores están redondeados al último decimal).
Convergencia
La prueba de convergencia de Kempner [1] se repite en muchos libros de texto, por ejemplo, Hardy y Wright [4] : 120 y Apostol. [5] : 212 Agrupamos los términos de la suma por el número de dígitos del denominador. El número de números enteros positivos de n dígitos que no tienen un dígito igual a '9' es 8 × 9 n −1 porque hay 8 opciones (1 a 8) para el primer dígito y 9 opciones independientes (0 a 8) para cada uno. de los otros n −1 dígitos. Cada uno de estos números sin '9' es mayor o igual a 10 n −1 , por lo que el recíproco de cada uno de estos números es menor o igual que 10 1− n . Por lo tanto, la contribución de este grupo a la suma de recíprocos es menor que 8 × ( 9/10) n −1 . Por lo tanto, la suma total de recíprocos es como máximo
El mismo argumento funciona para cualquier dígito que no sea cero omitido. El número de números enteros positivos de n dígitos que no tienen '0' es 9 n , por lo que la suma de 1/nortedonde n no tiene ningún dígito '0' es como máximo
La serie también converge si se omiten cadenas de k dígitos, por ejemplo, si omitimos todos los denominadores que tienen una subcadena decimal de 42. Esto se puede demostrar casi de la misma manera. [3] Primero observamos que podemos trabajar con números en base 10 k y omitir todos los denominadores que tienen la cadena dada como un "dígito". El argumento análogo al caso de base 10 muestra que esta serie converge. Ahora volviendo a la base 10, vemos que esta serie contiene todos los denominadores que omiten la cadena dada, así como también denominadores que la incluyen si no están en un límite de " k dígitos". Por ejemplo, si omitimos 42, la serie base-100 omitiría 4217 y 1742, pero no 1427, por lo que es más grande que la serie que omite los 42.
Farhi [6] consideró series de Kempner generalizadas, es decir, las sumas S ( d , n ) de los recíprocos de los enteros positivos que tienen exactamente n instancias del dígito d donde 0 ≤ d ≤ 9 (de modo que la serie de Kempner original es S (9, 0)). Mostró que para cada d la secuencia de valores S ( d , n ) para n ≥ 1 es decreciente y converge a 10 ln 10. La secuencia no es en general decreciente comenzando con n = 0; por ejemplo, para la serie original de Kempner tenemos S (9, 0) ≈ 22.921 <23.026 ≈ 10 ln 10 < S (9, n ) para n ≥ 1.
Métodos de aproximación
La serie converge extremadamente lentamente. Baillie [2] comenta que después de sumar 10 24 términos, el resto sigue siendo mayor que 1. [7]
El límite superior de 80 es muy burdo, e Irwin mostró [8] mediante un análisis ligeramente más fino de los límites que el valor de la serie de Kempner está cerca de 23, ya que se refinó al valor anterior, 22,92067 ... [2]
Baillie [2] desarrolló una recursividad que expresa la contribución de cada bloque de dígitos ( k + 1) en términos de las contribuciones de los bloques de dígitos k para todas las opciones de dígitos omitidos. Esto permite una estimación muy precisa con una pequeña cantidad de cálculo.
Nombre de esta serie
La mayoría de los autores no nombran esta serie. El nombre "serie Kempner" se utiliza en MathWorld [9] y en el libro Gamma de Havil sobre la constante de Euler-Mascheroni . [10] : 31–33
Ver también
Notas
- ↑ a b Kempner, AJ (febrero de 1914). "Una curiosa serie convergente". American Mathematical Monthly . Washington, DC: Asociación Matemática de América. 21 (2): 48–50. doi : 10.2307 / 2972074 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2972074 .
- ^ a b c d Baillie, Robert (mayo de 1979). "Sumas de recíprocos de enteros que faltan un dígito dado". American Mathematical Monthly . Washington, DC: Asociación Matemática de América. 86 (5): 372–374. doi : 10.2307 / 2321096 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2321096 .
- ^ a b Schmelzer, Thomas; Baillie, Robert (junio-julio de 2008). "Sumando una serie curiosa, lentamente convergente". American Mathematical Monthly . Washington, DC: Asociación Matemática de América. 115 (6): 525–540. ISSN 0002-9890 . JSTOR 27642532 . Señor 2416253 .
- ^ Hardy, GH; EM Wright (1979). Introducción a la teoría de los números (5ª ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853171-0.
- ^ Apostol, Tom (1974). Análisis matemático . Boston: Addison – Wesley. ISBN 0-201-00288-4.
- ^ Farhi, Bakir (diciembre de 2008). "Un resultado curioso relacionado con la serie de Kempner". American Mathematical Monthly . Washington, DC: Asociación Matemática de América. 115 (10): 933–938. arXiv : 0807.3518 . Código Bibliográfico : 2008arXiv0807.3518F . ISSN 0002-9890 . JSTOR 27642640 . Señor 2468554 .
- ^ "ERRATA". American Mathematical Monthly . Washington, DC: Asociación Matemática de América. 87 (10): 866. Diciembre de 1980. doi : 10.2307 / 2320815 . ISSN 0002-9890 .
- ^ Irwin, Frank (mayo de 1916). "Una curiosa serie convergente". American Mathematical Monthly . Washington, DC: Asociación Matemática de América. 23 (5): 149-152. doi : 10.2307 / 2974352 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2974352 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Serie Kempner" . MathWorld .
- ^ Havil, Julian (2003). Gamma: Explorando la constante de Euler . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-09983-5.
enlaces externos
- "Sumando subseries armónicas curiosas, lentamente convergentes" . Preimpresión del artículo de Thomas Schmelzer y Robert Baillie.