En matemática combinatoria , un gran conjunto de números enteros positivos
es uno tal que la suma infinita de los recíprocos
diverge . Un conjunto pequeño es cualquier subconjunto de enteros positivos que no sea grande; es decir, uno cuya suma de recíprocos converge.
Aparecen grandes conjuntos en el teorema de Müntz-Szász y en la conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas .
Ejemplos de
- Cada subconjunto finito de enteros positivos es pequeño.
- El conjunto de todos los enteros positivos se sabe que es un conjunto grande; esta afirmación es equivalente a la divergencia de la serie armónica . De manera más general, cualquier progresión aritmética (es decir, un conjunto de todos los números enteros de la forma an + b con a ≥ 1, b ≥ 1 yn = 0, 1, 2, 3, ...) es un conjunto grande.
- El conjunto de números cuadrados es pequeño (consulte el problema de Basilea ). También lo es el conjunto de números cúbicos , el conjunto de 4º potencias, etc. De manera más general, el conjunto de valores enteros positivos de cualquier polinomio de grado 2 o mayor forma un conjunto pequeño.
- Se sabe que el conjunto {1, 2, 4, 8, ...} de potencias de 2 es un conjunto pequeño, al igual que cualquier progresión geométrica (es decir, un conjunto de números de la forma ab n con un ≥ 1, b ≥ 2 yn = 0, 1, 2, 3, ...).
- Se ha demostrado que el conjunto de números primos es grande. Se ha demostrado que el conjunto de primos gemelos es pequeño (ver constante de Brun ).
- El conjunto de potencias primos que no son primos (es decir, todos los números de la forma p n con n ≥ 2 y p primo) es un conjunto pequeño, aunque los números primos son un conjunto grande. Esta propiedad se utiliza con frecuencia en la teoría analítica de números . De manera más general, el conjunto de poderes perfectos es pequeño, incluso el conjunto de números poderosos es pequeño.
- El conjunto de números cuyas expansiones en una base dada excluyen un dígito dado es pequeño. Por ejemplo, el conjunto
- de enteros cuya expansión decimal no incluye el dígito 7 es pequeño. Estas series se denominan series de Kempner .
- El conjunto de primos gemelos es pequeño, pero todavía se conjetura que hay infinitos primos gemelos .
- Cualquier conjunto cuya densidad asintótica superior sea distinta de cero, es grande.
Propiedades
- Cada subconjunto de un pequeño conjunto es pequeño.
- La unión de un número finito de conjuntos pequeños es pequeña, porque la suma de dos series convergentes es una serie convergente. (En la terminología de la teoría de conjuntos, los conjuntos pequeños forman un ideal ).
- El complemento de cada conjunto pequeño es grande.
- El teorema de Müntz-Szász establece que un conjunto es grande si y solo si el conjunto de polinomios abarcados por
- es denso en la topología normal uniforme de funciones continuas en un intervalo cerrado. Ésta es una generalización del teorema de Stone-Weierstrass .
Problemas abiertos que involucran conjuntos grandes
Paul Erdős hizo la famosa pregunta de si cualquier conjunto que no contenga progresiones aritméticas arbitrariamente largas debe ser necesariamente pequeño. Ofreció un premio de $ 3000 por la solución a este problema, más que por cualquiera de sus otras conjeturas , y bromeó diciendo que este premio violaba la ley del salario mínimo. [1] Esta pregunta aún está abierta.
No se sabe cómo identificar si un conjunto dado es grande o pequeño en general. Como resultado, hay muchos conjuntos que no se conocen por ser grandes o pequeños.
Ver también
Notas
- ^ Carl Pomerance , Paul Erdős, teórico de números extraordinario . (Parte del artículo The Mathematics of Paul Erdős ), en Notices of the AMS , enero de 1998 .
Referencias
- AD Wadhwa (1975). Una subserie interesante de la serie armónica. American Mathematical Monthly 82 (9) 931–933. JSTOR 2318503