Desigualdad de Khintchine

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En matemáticas , la desigualdad de Khintchine , llamada así por Aleksandr Khinchin y deletreada de múltiples maneras en el alfabeto latino, es un teorema de probabilidad y también se usa con frecuencia en el análisis . Heurísticamente, dice que si elegimos números complejos y los sumamos cada uno multiplicado por un signo aleatorio , entonces el valor esperado del módulo de la suma , o el módulo al que estará más cerca en promedio, no estará muy lejos de .${\ estilo de visualización N}$ ${\displaystyle x_{1},\dots,x_{N}\en \mathbb {C} }$${\ estilo de visualización \ pm 1}$${\displaystyle {\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{N}|^{2}}}}$

Sean iid variables aleatorias con for , es decir, una secuencia con distribución de Rademacher . Deja y deja . Entonces${\displaystyle \{\varepsilon _{n}\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle P(\varepsilon _{n}=\pm 1)={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle n=1,\ldots,N}$${\displaystyle 0<p<\infty}$${\displaystyle x_{1},\ldots,x_{N}\en \mathbb {C} }$

para algunas constantes que dependen solo de (ver Valor esperado para la notación). Haagerup encontró los valores nítidos de las constantes (Ref. 2; ver Ref. 3 para una prueba más simple). Es una cuestión simple ver que cuándo , y cuándo .${\displaystyle A_{p},B_{p}>0}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización A_ {p}, B_ {p}}$${\ estilo de visualización A_ {p} = 1}$${\displaystyle p\geq 2}$${\ estilo de visualización B_ {p} = 1}$${\ estilo de visualización 0 <p \ leq 2}$

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