El teorema de la integral de Kirchhoff (a veces denominado teorema de la integral de Fresnel-Kirchhoff) [1] utiliza las identidades de Green para derivar la solución de la ecuación de onda homogéneaen un punto arbitrario P en términos de los valores de la solución de la ecuación de onda y su derivado de primer orden en todos los puntos sobre una superficie arbitraria que encierra P . [2]
Ecuación
Ondas monocromáticas
La integral tiene la siguiente forma para una onda monocromática : [2] [3]
donde la integración se realiza sobre una superficie cerrada arbitraria S (que encierra r ), s es la distancia desde el elemento de superficie al punto r , y ∂ / ∂ n denota diferenciación a lo largo de la superficie normal (una derivada normal ). Tenga en cuenta que en esta ecuación la normal apunta al interior del volumen encerrado; si se utiliza la normal que apunta hacia el exterior más habitual , la integral tendrá el signo opuesto.
Ondas no monocromáticas
Se puede derivar una forma más general para ondas no monocromáticas. La amplitud compleja de la onda se puede representar mediante una integral de Fourier de la forma
donde, por inversión de Fourier , tenemos
El teorema de la integral (arriba) se aplica a cada componente de Fourier , y se obtiene la siguiente expresión: [2]
donde los corchetes de los términos V denotan valores retardados, es decir, los valores en el tiempo t - s / c .
Kirchhoff mostró que la ecuación anterior se puede aproximar en muchos casos a una forma más simple, conocida como fórmula de difracción de Kirchhoff o Fresnel-Kirchhoff , que es equivalente a la ecuación de Huygens-Fresnel , pero proporciona una fórmula para el factor de inclinación, que es no definido en este último. La integral de difracción se puede aplicar a una amplia gama de problemas en óptica.
Ver también
Referencias
Otras lecturas
- The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
- Introducción a la electrodinámica (tercera edición) , DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
- Luz y materia: electromagnetismo, óptica, espectroscopia y láseres , YB Band, John Wiley & Sons, 2010, ISBN 978-0-471-89931-0
- The Light Fantastic - Introducción a la óptica clásica y cuántica , IR Kenyon, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-856646-5
- Encyclopaedia of Physics (2.a edición) , RG Lerner , GL Trigg, editores de VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
- Enciclopedia de Física de McGraw Hill (segunda edición) , CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3