La fórmula de difracción de Kirchhoff [1] [2] (también fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff ) se puede usar para modelar la propagación de la luz en una amplia gama de configuraciones, ya sea analíticamente o usando modelado numérico . Da una expresión para la perturbación de la onda cuando una onda esférica monocromática pasa a través de una abertura en unapantalla opaca . La ecuación se deriva haciendo varias aproximaciones al teorema de la integral de Kirchhoff que usa el teorema de Green para derivar la solución de la ecuación de onda homogénea.
Derivación de la fórmula de difracción de Kirchhoff
El teorema de la integral de Kirchhoff , a veces denominado teorema de la integral de Fresnel-Kirchhoff, [3] utiliza las identidades de Green para derivar la solución de la ecuación de onda homogénea en un punto arbitrario P en términos de los valores de la solución de la ecuación de onda y su primera derivado orden en todos los puntos sobre una superficie arbitraria que encierra P .
La solución proporcionada por el teorema de la integral para una fuente monocromática es:
donde U es la amplitud compleja de la perturbación en la superficie, k es el número de onda y s es la distancia de P a la superficie.
Las suposiciones realizadas son:
- U y ∂ U / ∂ n son discontinuos en los límites de la apertura,
- la distancia a la fuente puntual y la dimensión de la abertura S son mucho mayores que λ.
Punto de partida
Considere una fuente puntual monocromática en P 0 , que ilumina una apertura en una pantalla. La energía de la onda emitida por una fuente puntual cae como el cuadrado inverso de la distancia recorrida, por lo que la amplitud cae como la inversa de la distancia. La amplitud compleja de la perturbación a una distancia r viene dada por
donde a representa la magnitud de la perturbación en la fuente puntual.
La perturbación en un punto P se puede encontrar aplicando el teorema integral a la superficie cerrada formada por la intersección de una esfera de radio R con la pantalla. La integración se realiza sobre las áreas A 1 , A 2 y A 3 , dando
Para resolver la ecuación, se asume que los valores de U y ∂ U / ∂ n en el área A 1 son los mismos que cuando la pantalla no está presente, dando en Q :
donde r es la longitud P 0 Q , y ( n , r ) es el ángulo entre P 0 Q y la normal a la apertura.
Kirchhoff supone que los valores de U y ∂ U / ∂ n en A 2 son cero. Esto implica que U y ∂ U / ∂ n son discontinuos en el borde de la abertura. Este no es el caso, y esta es una de las aproximaciones utilizadas para derivar la ecuación. [4] [5] Estos supuestos a veces se denominan condiciones de frontera de Kirchhoff.
También se supone que la contribución de A 3 a la integral es cero. Esto se puede justificar asumiendo que la fuente comienza a irradiar en un momento particular, y luego haciendo que R sea lo suficientemente grande, de modo que cuando se considere la perturbación en P , no habrá llegado allí ninguna contribución de A 3 . [1] Tal onda ya no es monocromática , ya que una onda monocromática debe existir en todo momento, pero esa suposición no es necesaria, y se ha derivado un argumento más formal que evita su uso. [6]
Tenemos
donde ( n , s ) es el ángulo entre la normal a la apertura y PQ . Tenga en cuenta que en esta derivación ( n , s )> π / 2 y cos ( n , s ) es negativo.
Por último, los términos 1 / r y 1 / s se supone que son insignificantes en comparación con k , ya que r y s son generalmente mucho mayor que 2π / k , que es igual a la longitud de onda . Por lo tanto, la integral anterior, que representa la amplitud compleja en P , se convierte en
Esta es la fórmula de difracción de Kirchhoff o Fresnel-Kirchhoff.
Equivalencia a la ecuación de Huygens-Fresnel
El principio de Huygens-Fresnel se puede derivar mediante la integración sobre una superficie cerrada diferente. El área A 1 de arriba se reemplaza por un frente de onda de P 0 , que casi llena la apertura, y una porción de un cono con un vértice en P 0 , que está etiquetado como A 4 en el diagrama. Si el radio de curvatura de la onda es lo suficientemente grande, la contribución de A 4 puede despreciarse. También tenemos
donde χ es como se define en el principio de Huygens-Fresnel , y cos ( n , r ) = 1. La amplitud compleja del frente de onda en r 0 está dada por
La fórmula de difracción se convierte en
Esta es la fórmula de difracción de Kirchhoff, que contiene parámetros que tuvieron que asignarse arbitrariamente en la derivación de la ecuación de Huygens-Fresnel .
Fuente extendida
Suponga que la apertura está iluminada por una onda fuente extendida. [7] La amplitud compleja en la apertura viene dada por U 0 ( r ).
Se asume, como antes, que los valores de U y ∂ U / ∂ n en el área A 1 son los mismos que cuando la pantalla no está presente, que los valores de U y ∂ U / ∂n en A 2 son cero (Condiciones de frontera de Kirchhoff) y que la contribución de A 3 a la integral también es cero. También se supone que 1 / s es insignificante en comparación con k . Entonces tenemos
Esta es la forma más general de la fórmula de difracción de Kirchhoff. Para resolver esta ecuación para una fuente extendida, se requeriría una integración adicional para sumar las contribuciones hechas por los puntos individuales en la fuente. Sin embargo, si asumimos que la luz de la fuente en cada punto de la apertura tiene una dirección bien definida, que es el caso si la distancia entre la fuente y la apertura es significativamente mayor que la longitud de onda, entonces podemos escribir
donde a ( r ) es la magnitud de la perturbación en el punto r de la apertura. Entonces tenemos
y por lo tanto
Ecuaciones de difracción de Fraunhofer y Fresnel
A pesar de las diversas aproximaciones que se hicieron para llegar a la fórmula, es adecuado describir la mayoría de los problemas de la óptica instrumental. Esto se debe principalmente a que la longitud de onda de la luz es mucho menor que las dimensiones de los obstáculos encontrados. Las soluciones analíticas no son posibles para la mayoría de las configuraciones, pero la ecuación de difracción de Fresnel y la ecuación de difracción de Fraunhofer , que son aproximaciones de la fórmula de Kirchhoff para el campo cercano y el campo lejano , pueden aplicarse a una amplia gama de sistemas ópticos.
Uno de los supuestos importantes realizados en llegar a la fórmula de difracción de Kirchhoff es que r y s son significativamente mayores que λ. Se puede hacer otra aproximación, que simplifica significativamente la ecuación aún más: esto es que las distancias P 0 Q y QP son mucho mayores que las dimensiones de la apertura. Esto permite hacer dos aproximaciones más:
- cos ( n, r ) - cos ( n, s ) se reemplaza con 2cos β, donde β es el ángulo entre P 0 P y la normal a la apertura. El factor 1 / rs se reemplaza por 1 / r ' s ' , donde r ' y s ' son las distancias desde P 0 y P al origen, que se encuentra en la apertura. La amplitud compleja se convierte entonces en:
- Suponga que la apertura se encuentra en el plano xy , y que las coordenadas de P 0 , P y Q (un punto general en la apertura) son ( x 0 , y 0 , z 0 ), ( x , y , z ) y ( x ' , y ' , 0) respectivamente. Entonces tenemos:
Podemos expresar r y s de la siguiente manera:
Estos se pueden ampliar como series de potencia:
La amplitud compleja en P ahora se puede expresar como
donde f ( x ' y ' ) incluye todos los términos en las expresiones anteriores para s y r aparte del primer término en cada expresión y se puede escribir en la forma
donde las c i son constantes.
Difracción de Fraunhofer
Si todos los términos en f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse excepto los términos en x ' e y ' , tenemos la ecuación de difracción de Fraunhofer . Si los cosenos de dirección de P 0 Q y PQ son
La ecuación de difracción de Fraunhofer es entonces
donde C es una constante. Esto también se puede escribir en el formulario
donde k 0 y k son los vectores de onda de las ondas que viajan desde P 0 a la apertura y desde la apertura a P respectivamente, y r ' es un punto en la apertura.
Si la fuente puntual se reemplaza por una fuente extendida cuya amplitud compleja en la apertura está dada por U 0 ( r ' ), entonces la ecuación de difracción de Fraunhofer es:
donde a 0 ( r ' ) es, como antes, la magnitud de la perturbación en la apertura.
Además de las aproximaciones hechas al derivar la ecuación de Kirchhoff, se supone que
- r y s son significativamente mayores que el tamaño de la abertura,
- Los términos de segundo y de orden superior en la expresión f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse.
Difracción de Fresnel
Cuando los términos cuadráticos no pueden despreciarse, pero sí todos los términos de orden superior, la ecuación se convierte en la ecuación de difracción de Fresnel . Se utilizan las aproximaciones para la ecuación de Kirchhoff y los supuestos adicionales son:
- r y s son significativamente mayores que el tamaño de la abertura,
- Los términos de tercer y superior orden en la expresión f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse.
Referencias
- ^ a b Nacido, Max ; Wolf, Emil (1999). Principios de la óptica: teoría electromagnética de propagación, interferencia y difracción de la luz . Cambridge: Cambridge University Press . pag. 986. ISBN 9780521642224.
- ^ Longhurst, Richard Samuel (1986). Óptica geométrica y física . Orient BlackSwan. pag. 651. ISBN 8125016236.
- ^ Kirchhoff, G. (1883). "Zur Theorie der Lichtstrahlen" . Annalen der Physik (en alemán). Wiley. 254 (4): 663–695. Código bibliográfico : 1882AnP ... 254..663K . doi : 10.1002 / yp.18832540409 .
- ^ JZ Buchwald y C.-P. Yeang, "Teoría de Kirchhoff para la difracción óptica, su predecesora y desarrollo posterior: la resistencia de una teoría inconsistente" , Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , vol. 70, no. 5 (septiembre de 2016), págs. 463–511; doi : 10.1007 / s00407-016-0176-1 .
- ^ J. Saatsi & P. Vickers, "¿Éxito milagroso? Inconsistencia y falsedad en la teoría de la difracción de Kirchhoff", British J. for the Philosophy of Science , vol. 62, no. 1 (marzo de 2011), págs. 29–46; jstor.org/stable/41241806 . (Versión prepublicación , con diferente paginación: dro.dur.ac.uk/10523/1/10523.pdf .)
- ^ M. Born, Optik: ein Lehrbuch der elektromagnetischen Lichttheorie . Berlín, Springer, 1933, reimpreso en 1965, p. 149.
- ^ MV Klein y TE Furtak, 1986, Óptica ; 2ª ed. John Wiley & Sons, Nueva York ISBN 0-471-87297-0 .
Otras lecturas
- Baker, BB; Copson, ET (1939, 1950). La teoría matemática del principio de Huygens . Oxford.
- Woan, Graham (2000). El Manual de Fórmulas de Física de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521575072.
- J. Goodman (2005). Introducción a la óptica de Fourier (3ª ed.). Editores de Roberts & Co. ISBN 978-0-9747077-2-3.
- Griffiths, David J. (2012). Introducción a la electrodinámica . Pearson Education, Limited. ISBN 978-0-321-85656-2.
- Band, Yehuda B. (2006). Luz y Materia: Electromagnetismo, Óptica, Espectroscopia y Láseres . John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-89931-0.
- Kenyon, Ian (2008). The Light Fantastic: Una introducción moderna a la óptica clásica y cuántica . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-856646-5.
- Lerner, Rita G .; George L., Trigg (1991). Enciclopedia de física . VCH. ISBN 978-0-89573-752-6.
- Sybil P., Parker (1993). Enciclopedia de Física MacGraw-Hill . McGraw-Hill Ryerson, Limited. ISBN 978-0-07-051400-3.