En matemáticas , específicamente análisis real y análisis funcional , el teorema de Kirszbraun establece que si U es un subconjunto de algún espacio de Hilbert H 1 y H 2 es otro espacio de Hilbert, y
- f : U → H 2
es un mapa continuo de Lipschitz , luego hay un mapa continuo de Lipschitz
- F : H 1 → H 2
que se extiende a f y tiene la misma constante de Lipschitz que f .
Tenga en cuenta que este resultado en particular se aplica a los espacios euclidianos E n y E m , y fue en esta forma que Kirszbraun formuló y demostró originalmente el teorema. [1] La versión para espacios de Hilbert se puede encontrar, por ejemplo, en (Schwartz 1969, p. 21). [2] Si H 1 es un espacio separable (en particular, si es un espacio euclidiano) el resultado es verdadero en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ; para el caso completamente general, parece necesitar alguna forma del axioma de elección; el teorema ideal primero de Boole es conocido por ser suficiente. [3]
La demostración del teorema usa características geométricas de los espacios de Hilbert; el enunciado correspondiente para los espacios de Banach no es cierto en general, ni siquiera para los espacios de Banach de dimensión finita. Por ejemplo, es posible construir contraejemplos donde el dominio es un subconjunto de R n con la norma máxima y R m lleva la norma euclidiana. [4] De manera más general, el teorema falla para equipado con cualquier la norma) (Schwartz 1969, pág.20). [2]
Para una función con valor R , la extensión la proporciona dónde es la constante de Lipschitz de f en U.
Historia
El teorema fue probado por Mojżesz David Kirszbraun , y más tarde fue reprobado por Frederick Valentine , [5] quien lo demostró por primera vez para el plano euclidiano. [6] A veces, este teorema también se denomina teorema de Kirszbraun-Valentine .
Referencias
- ^ Kirszbraun, MD (1934). "Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen". Fondo. Matemáticas . 22 : 77-108.
- ^ a b Schwartz, JT (1969). Análisis funcional no lineal . Nueva York: Gordon and Breach Science.
- ^ Fremlin, DH (2011). "Teorema de Kirszbraun" (PDF) . Preimpresión .
- ^ Federer, H. (1969). Teoría de la medida geométrica . Berlín: Springer. pag. 202 .
- ^ Valentine, FA (1945). "Una extensión de conservación de condición de Lipschitz para una función vectorial". Revista Estadounidense de Matemáticas . 67 (1): 83–93. doi : 10.2307 / 2371917 .
- ^ Valentine, FA (1943). "Sobre la extensión de una función vectorial para preservar una condición de Lipschitz" . Boletín de la American Mathematical Society . 49 : 100-108. doi : 10.1090 / s0002-9904-1943-07859-7 . Señor 0008251 .