En matemáticas , un álgebra de De Morgan (que lleva el nombre de Augustus De Morgan , un matemático y lógico británico) es una estructura A = (A, ∨, ∧, 0, 1, ¬) tal que:
- ( A , ∨, ∧, 0, 1) es una red distributiva acotada , y
- ¬ es una involución de De Morgan: ¬ ( x ∧ y ) = ¬ x ∨ ¬ y y ¬¬ x = x . (es decir, una involución que además satisface las leyes de De Morgan )
En un álgebra de De Morgan, las leyes
- ¬ x ∨ x = 1 ( ley del medio excluido ), y
- ¬ x ∧ x = 0 ( ley de no contradicción )
no siempre aguante. En presencia de las leyes de De Morgan, cualquiera de las dos implica a la otra, y un álgebra que las satisfaga se convierte en álgebra booleana .
Observación: Se deduce que ¬ (x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y, ¬1 = 0 y ¬0 = 1 (por ejemplo, ¬1 = ¬1 ∨ 0 = ¬1 ∨ ¬¬0 = ¬ (1 ∧ ¬0 ) = ¬¬0 = 0). Por tanto, ¬ es un automorfismo dual de ( A , ∨, ∧, 0, 1).
Si, en cambio, la celosía se define en términos del orden, es decir, (A, ≤) es un orden parcial acotado con un límite superior mínimo y un límite inferior mayor para cada par de elementos, y las operaciones de encuentro y unión así definidas satisfacen la ley distributiva , entonces la complementación también se puede definir como un anti-automorfismo involutivo, es decir, una estructura A = (A, ≤, ¬) tal que:
- (A, ≤) es una red distributiva acotada , y
- ¬¬ x = x , y
- x ≤ y → ¬ y ≤ ¬ x .
Las álgebras de De Morgan fueron introducidas por Grigore Moisil [1] [2] alrededor de 1935, [2] aunque sin la restricción de tener un 0 y un 1. [3] Luego se las llamó álgebras cuasi-booleanas en la escuela polaca , p. Ej. de Rasiowa y también i- entramados distributivos de JA Kalman . [2] ( i -lattice es una abreviatura de lattice con involución). Han sido estudiados más a fondo en la escuela de lógica algebraica argentina de Antonio Monteiro . [1] [2]
Las álgebras de De Morgan son importantes para el estudio de los aspectos matemáticos de la lógica difusa . El álgebra difusa estándar F = ([0, 1], max ( x , y ), min ( x , y ), 0, 1, 1 - x ) es un ejemplo de un álgebra de De Morgan donde las leyes del medio excluido y la no contradicción no se sostiene.
Otro ejemplo es la lógica de 4 valores de Dunn , en la que falso < ni verdadero-ni-falso < verdadero y falso < ambos-verdadero-y-falso < verdadero , mientras que ni-verdadero-ni-falso y ambos-verdaderos- y-falso no son comparables. [2]
Álgebra de Kleene
Si un álgebra de De Morgan satisface adicionalmente x ∧ ¬ x ≤ y ∨ ¬ y , se denomina álgebra de Kleene . [1] [3] (Esta noción no debe confundirse con otras expresiones regulares generalizadas del álgebra de Kleene .) Kalman también ha denominado esta noción como una red i normal .
Ejemplos de álgebras de Kleene en el sentido definido anteriormente incluyen: grupos ordenados en celosía , post álgebras y álgebras de Łukasiewicz . [3] Las álgebras de Boole también cumplen con esta definición de álgebra de Kleene. El álgebra de Kleene más simple que no es booleana es la lógica de tres valores de Kleene, K 3 . [4] K 3 hizo su primera aparición en la notación On para números ordinales de Kleene (1938). [5] El álgebra recibió el nombre de Kleene por Brignole y Monteiro. [6]
Nociones relacionadas
Las álgebras de De Morgan no son la única forma plausible de generalizar las álgebras booleanas. Otra forma es mantener ¬ x ∧ x = 0 (es decir, la ley de no contradicción) pero eliminar la ley del medio excluido y la ley de la doble negación. Este enfoque (llamado semicomplementación ) está bien definido incluso para una semirrejilla (encuentro) ; si el conjunto de semicomplementos tiene un elemento mayor se suele llamar pseudocomplemento . Si el pseudocomplemento satisface la ley del medio excluido, el álgebra resultante también es booleana. Sin embargo, si solo se requiere la ley más débil ¬ x ∨ ¬¬ x = 1, esto da como resultado álgebras de Stone . [1] De manera más general, tanto las álgebras de De Morgan como las de Stone son subclases adecuadas de las álgebras de Ockham .
Ver también
- celosía ortocomplementada
Referencias
- ^ a b c d Blyth, TS; Varlet, JC (1994). Álgebras de Ockham . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 4 –5. ISBN 978-0-19-859938-8.
- ^ a b c d e Béziau, Jean-Yves (2012). "Una historia de la verdad-valores". En Gabbay, Dov M .; Pelletier, Francis Jeffry; Woods, John (eds.). Lógica: una historia de sus conceptos centrales . Holanda Septentrional (una huella de Elsevier). págs. 280–281. ISBN 978-0-08-093170-8.
- ^ a b c Cignoli, Roberto (1975). "Injective de Morgan y Kleene Algebras" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 47 (2): 269–278. doi : 10.1090 / S0002-9939-1975-0357259-4 . JSTOR 2039730 .
- ^ Kaarli, Kalle; Pixley, Alden F. (21 de julio de 2000). Completitud polinomial en sistemas algebraicos . Prensa CRC. págs. 297–. ISBN 978-1-58488-203-9.
- ^ Kleene, Carolina del Sur (1938). "En notación para números ordinales". El diario de la lógica simbólica . 3 (4): 150-155. doi : 10.2307 / 2267778 . JSTOR 2267778 .
- ^ Brignole, D .; Monteiro, A. (1964). "Caracterisation des algèbres de Nelson par des egalités". Notas de Logica Matematica . Instituto de Matematica Universidad del sur Bahia Blanca. 20 .Una versión (posiblemente abreviada) de este artículo apareció más tarde en Proceedings of the Japan Academy : Brignole, Diana; Monteiro, Antonio (1967). "Caracterisation des algèbres de Nelson par des egalités, I" . Actas de la Academia Japonesa, Serie A, Ciencias Matemáticas . 43 (4). doi : 10.3792 / pja / 1195521624 ,Brignole, Diana; Monteiro, Antonio (1967). "Caracterisation des algèbres de Nelson par des egalités, II" . Actas de la Academia Japonesa, Serie A, Ciencias Matemáticas . 43 (4). doi : 10.3792 / pja / 1195521625 .
Otras lecturas
- Balbes, Raymond; Dwinger, Philip (1975). "Capítulo IX. Álgebras de De Morgan y Álgebras de Lukasiewicz". Rejillas distributivas . Prensa de la Universidad de Missouri. ISBN 978-0-8262-0163-8.
- Birkhoff, G. (1936). "Reseñas: Moisil Gr. C .. Recherches sur l'algèbre de la logique. Annales scientifiques de l'Université de Jassy, vol. 22 (1936), págs. 1-118 ". El diario de la lógica simbólica . 1 (2): 63. doi : 10.2307 / 2268551 . JSTOR 2268551 .
- Batyrshin, IZ (1990). "Sobre medidas fuzzinésicas de entropía en álgebras de Kleene". Conjuntos y sistemas difusos . 34 (1): 47–60. doi : 10.1016 / 0165-0114 (90) 90126-Q .
- Kalman, JA (1958). "Celosías con involución" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 87 (2): 485–491. doi : 10.1090 / S0002-9947-1958-0095135-X . JSTOR 1993112 .
- Pagliani, Piero; Chakraborty, Mihir (2008). Una geometría de aproximación: teoría de conjuntos aproximados: lógica, álgebra y topología de patrones conceptuales . Springer Science & Business Media. Parte II. Capítulo 6. Estructuras lógico-algebraicas básicas, págs. 193-210. ISBN 978-1-4020-8622-9.
- Cattaneo, G .; Ciucci, D. (2009). "Celosías con Operadores de Interior y Cierre y Espacios de Aproximación Abstractos". Las transacciones en Rough Sets X . Notas de la clase en Ciencias de la Computación 67–116. 5656 . págs. 67-116. doi : 10.1007 / 978-3-642-03281-3_3 . ISBN 978-3-642-03280-6.
- Gehrke, M .; Walker, C .; Walker, E. (2003). "Lógicas difusas que surgen de Strict De Morgan Systems". En Rodabaugh, SE; Klement, EP (eds.). Estructuras topológicas y algebraicas en conjuntos difusos: un manual de desarrollos recientes en las matemáticas de conjuntos difusos . Saltador. ISBN 978-1-4020-1515-1.
- Dalla Chiara, Maria Luisa ; Giuntini, Roberto; Greechie, Richard (2004). Razonamiento en la teoría cuántica: lógicas cuánticas nítidas y poco nítidas . Saltador. ISBN 978-1-4020-1978-4.