En matemáticas, una superficie de Klein es una variedad dianalítica de dimensión compleja 1. Las superficies de Klein pueden tener un límite y no necesitan ser orientables . Las superficies de Klein generalizan las superficies de Riemann . Mientras que los últimos se utilizan para estudiar curvas algebraicas sobre números complejos analíticamente, los primeros se utilizan para estudiar curvas algebraicas sobre números reales analíticamente. Las superficies de Klein fueron introducidas por Felix Klein en 1882. [1]
Una superficie de Klein es una superficie (es decir, una variedad diferenciable de dimensión real 2) en la que la noción de ángulo entre dos vectores tangentes en un punto dado está bien definida, al igual que el ángulo entre dos curvas que se cruzan en la superficie. Estos ángulos están en el rango [0, π]; dado que la superficie no tiene noción de orientación, no es posible distinguir entre los ángulos α y −α. (Por el contrario, en las superficies de Riemann están orientadas y los ángulos en el rango de (-π, π] se pueden definir de manera significativa). La longitud de las curvas, el área de las subvariedades y la noción de geodésica no están definidas en las superficies de Klein.
Dos Klein superficies de X y Y se consideran equivalentes si hay conformal (es decir, ángulo de preservación pero no necesariamente conserva la orientación) mapas diferenciables f : X → Y y g : Y → X que mapa de límites de frontera y satisfacer fg = id Y y gf = id X .
Ejemplos de
Cada superficie de Riemann (variedad analítica de dimensión compleja 1, sin límite) es una superficie de Klein. Los ejemplos incluyen subconjuntos abiertos del plano complejo (no compacto), la esfera de Riemann (compacto) y tori (compacto). Tenga en cuenta que hay muchas superficies de Riemann no equivalentes diferentes con el mismo toro subyacente que la variedad.
Un disco cerrado en el plano complejo es una superficie de Klein (compacta, con límite). Todos los discos cerrados son equivalentes a las superficies de Klein. Un anillo cerrado en el plano complejo es una superficie de Klein (compacta, con límite). No todos los anillos son equivalentes a las superficies de Klein: existe una familia de un parámetro de superficies de Klein no equivalentes que surgen de esta manera a partir de los anillos. Al eliminar varios discos abiertos de la esfera de Riemann, obtenemos otra clase de superficies de Klein (compactas, con límite). El plano proyectivo real se puede convertir en una superficie de Klein (compacta, sin límites), esencialmente de una sola manera. La botella de Klein se puede convertir en una superficie de Klein (compacta, sin límites); Hay una familia de un parámetro de estructuras de superficies de Klein desiguales definidas en la botella de Klein. De manera similar, existe una familia de un parámetro de estructuras de superficie de Klein no equivalentes (compactas, con límite) definidas en la tira de Möbius . [2]
Cada 2-múltiple topológico compacto (posiblemente con límite) se puede convertir en una superficie de Klein, [3] a menudo de muchas formas desiguales diferentes.
Propiedades
El límite de una superficie de Klein compacta consta de un número finito de componentes conectados , cada uno de los cuales es homeomórfico a un círculo. Estos componentes se denominan óvalos de la superficie de Klein. [3]
Suponga que Σ es una superficie de Riemann (no necesariamente conectada) y τ: Σ → Σ es una involución anti-holomórfica (con inversión de orientación) . Entonces, el cociente Σ / τ lleva una estructura de superficie de Klein natural, y cada superficie de Klein puede obtenerse de esta manera esencialmente de una sola manera. [3] Los puntos fijos de τ corresponden a los puntos límite de Σ / τ. La superficie Σ se llama un "doble analítico" de Σ / τ.
Las superficies de Klein forman una categoría ; un morfismo de la superficie Klein X a la superficie Klein Y es un mapa diferenciable f : X → Y que en cada coordenada parche es o bien holomorphic o el conjugado complejo de un mapa holomorphic y además mapea el límite de X hasta el límite de Y .
Existe una correspondencia biunívoca entre las curvas algebraicas proyectivas suaves sobre los reales (hasta el isomorfismo ) y las superficies de Klein conectadas compactas (hasta la equivalencia). Los puntos reales de la curva corresponden a los puntos límite de la superficie de Klein. [3] De hecho, existe una equivalencia de categorías entre la categoría de curvas algebraicas proyectivas suaves sobre R (con mapas regulares como morfismos) y la categoría de superficies de Klein compactas conectadas. Esto es similar a la correspondencia entre curvas algebraicas proyectivas suaves sobre los números complejos y superficies de Riemann conectadas compactas. (Tenga en cuenta que las curvas algebraicas considerados aquí son curvas abstractas: integral , separado unidimensionales esquemas de tipo finito sobre R Tal necesidad curva no tiene ningún. R puntos -racional (como la curva X 2 + Y 2 + 1 = 0 sobre R ), en cuyo caso su superficie de Klein tendrá un límite vacío).
También hay una correspondencia uno a uno entre superficies de Klein conectadas compactas (hasta equivalencia) y campos de función algebraica en una variable sobre R (hasta R -isomorfismo). Esta correspondencia es similar a la que existe entre las superficies de Riemann conectadas compactas y los campos de funciones algebraicas sobre los números complejos. [2] Si X es una superficie de Klein, una función f : X → C u {∞} se llama meromórfica si, en cada parche de coordenadas, f o su conjugado complejo es meromórfico en el sentido ordinario, y si f toma solo valores reales (o ∞) en el límite de X . Dada una superficie Klein conectado X , el conjunto de funciones meromorfas definidos en X forman un campo M ( X ), un campo de función algebraica en una variable sobre R . M es un funtor contravariante y produce una dualidad (equivalencia contravariante) entre la categoría de superficies de Klein conectadas compactas (con morfismos no constantes) y la categoría de campos de función en una variable sobre los reales.
Se pueden clasificar las superficies X compactas conectadas de Klein hasta el homeomorfismo (¡no hasta la equivalencia!) Especificando tres números ( g , k , a ): el género g del doble analítico Σ, el número k de componentes conectados del límite de X , y el número a , definido por a = 0 si X es orientable y a = 1 en caso contrario. [3] Siempre tenemos k ≤ g +1. La característica de Euler de X es igual a 1- g . [3]
Referencias
- ^ Klein, Felix (1882), Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale de Ueber Riemann (en alemán), Teubner
- ^ a b Norman L. Alling y Newcomb Greenleaf (1969). "Superficies de Klein y campos de funciones algebraicas reales" (PDF) . Boletín de la AMS (75): 869–872.Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ a b c d e f Florent Schaffhauser. "Conferencias sobre superficies de Klein y sus grupos fundamentales" (PDF) .
Otras lecturas
- Norman L. Alling y Newcomb Greenleaf (1971), Fundamentos de la teoría de superficies de Klein. Lecture Notes in Mathematics, vol. 219. , Springer-VerlagMantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )