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Este artículo trata sobre el objeto matemático. Para otros usos, consulte Nudo (desambiguación) .
Una tabla de todos los nudos principales con siete cruces o menos (sin incluir imágenes en espejo).
El nudo simple se convierte en un nudo de trébol al unir los extremos.
El triángulo está asociado con el nudo del trébol.
7 4 nudos de enlace de pretzel

En matemáticas , un nudo es una incrustación de un círculo topológico S 1 en el espacio euclidiano tridimensional , R 3 (también conocido como E 3 ), considerado hasta deformaciones continuas ( isotopías ).

Una diferencia crucial entre las nociones matemáticas estándar y convencionales de un nudo es que los nudos matemáticos están cerrados; no hay extremos que atar o desatar en un nudo matemático. Tampoco se aplican propiedades físicas como la fricción y el grosor, aunque existen definiciones matemáticas de un nudo que tienen en cuenta dichas propiedades. El término nudo también se aplica a incrustaciones de S j  en S n , especialmente en el caso j = n - 2 . La rama de las matemáticas que estudia los nudos se conoce como teoría de nudos y tiene muchas relaciones simples con la teoría de grafos .

Definición formal [ editar ]

Un nudo es una incrustación del círculo ( S 1 ) en el espacio euclidiano tridimensional ( R 3 ). [1] o la 3-esfera , S 3 , ya que la 3-esfera es compacta . [2] [Nota 1] Se definen dos nudos como equivalentes si existe una isotopía ambiental entre ellos. [3]

Proyección [ editar ]

Un nudo en R 3 (o alternativamente en la 3-esfera ,  S 3 ), puede proyectarse sobre un plano  R 2 (respectivamente una esfera  S 2 ). Esta proyección es casi siempre regular , lo que significa que es inyectiva en todas partes, excepto en un número finito de puntos de cruce, que son las proyecciones de solo dos puntos del nudo, y estos puntos no son colineales . En este caso, al elegir un lado de proyección, se puede codificar completamente la isotopíaclase del nudo por su proyección regular mediante el registro de una información simple por encima / por debajo en estos cruces. En términos de la teoría de grafos, una proyección regular de un nudo, o diagrama de nudos, es, por tanto, un gráfico plano cuadrivalente con vértices sobre / poco decorados. Las modificaciones locales de este gráfico que permiten pasar de un diagrama a cualquier otro diagrama del mismo nudo (hasta la isotopía ambiental del plano) se denominan movimientos de Reidemeister .

  • Movimiento Reidemeister 1

  • Movimiento Reidemeister 2

  • Movimiento Reidemeister 3

Tipos de nudos [ editar ]

Un nudo se puede desatar si el lazo está roto.

El nudo más simple, llamado un nudo o nudo trivial, es un círculo redondo incrustado en R 3 . [4] En el sentido ordinario de la palabra, el nudo no está "anudado" en absoluto. Los nudos no triviales más simples son el nudo de trébol ( 3 1 en la tabla), el nudo en forma de ocho ( 4 1 ) y el nudo cinquefoil ( 5 1 ). [5]

Varios nudos, enlazados o entrelazados, se denominan enlaces . Los nudos son enlaces con un solo componente.

Manso contra nudos salvajes [ editar ]

Un nudo salvaje.

Un nudo poligonal es un nudo cuya imagen en R 3 es la unión de un conjunto finito de segmentos de línea . [6] Un nudo domesticado es cualquier nudo equivalente a un nudo poligonal. [6] [Nota 2] Los nudos que no son mansos se denominan salvajes , [7] y pueden tener un comportamiento patológico . [7] En la teoría de nudos y la teoría de tres variedades , a menudo se omite el adjetivo "domesticar". Los nudos lisos, por ejemplo, siempre son mansos.

Nudo enmarcado [ editar ]

Un nudo enmarcado es la extensión de un nudo domesticado a una incrustación del toro sólido D 2 × S 1 en S 3 .

El encuadre del nudo es el número de enlace de la imagen de la cinta I × S 1 con el nudo. Un nudo enmarcado puede verse como la cinta incrustada y el encuadre es el número (firmado) de vueltas. [8] Esta definición se generaliza a una análoga para enlaces enmarcados . Se dice que los enlaces enmarcados son equivalentes si sus extensiones a toros sólidos son isotópicas ambientales.

Los diagramas de vínculos enmarcados son diagramas de vínculos con cada componente marcado, para indicar el entramado, por un número entero que representa una pendiente con respecto al meridiano y la longitud preferida. Una forma estándar de ver un diagrama de vínculos sin marcas como representando un vínculo enmarcado es utilizar el encuadre de pizarra . Este encuadre se obtiene convirtiendo cada componente en una cinta plana sobre el plano. Un movimiento de Reidemeister tipo Iclaramente cambia el encuadre de la pizarra (cambia el número de vueltas en una cinta), pero los otros dos movimientos no. Reemplazar el movimiento de tipo I por un movimiento de tipo I modificado da un resultado para diagramas de vínculos con encuadre de pizarra similar al teorema de Reidemeister: los diagramas de vínculo, con encuadre de pizarra, representan vínculos enmarcados equivalentes si y solo si están conectados por una secuencia de ) movimientos de tipo I, II y III. Dado un nudo, se pueden definir infinitos marcos en él. Supongamos que se nos da un nudo con un marco fijo. Uno puede obtener un nuevo marco del existente cortando una cinta y girándola un múltiplo entero de 2π alrededor del nudo y luego pegando nuevamente en el lugar donde hicimos el corte. De esta manera se obtiene un nuevo encuadre a partir de uno antiguo, hasta la relación de equivalencia para nudos enmarcados „dejando el nudo fijo.[9] El encuadre en este sentido está asociado al número de giros que realiza el campo vectorial alrededor del nudo. Saber cuántas veces se tuerce el campo vectorial alrededor del nudo permite determinar el campo vectorial hasta el difeomorfismo, y la clase de equivalencia del encuadre está determinada completamente por este número entero llamado entero de encuadre.

Complemento de nudos [ editar ]

Un nudo cuyo complemento tiene una descomposición JSJ no trivial.

Dado un nudo en la 3-esfera, el complemento del nudo son todos los puntos de la 3-esfera que no están contenidos en el nudo. Un teorema importante de Gordon y Luecke establece que como máximo dos nudos tienen complementos homeomórficos (el nudo original y su reflejo en el espejo). Esto, en efecto, convierte el estudio de los nudos en el estudio de sus complementos y, a su vez, en una teoría triple . [10]

Descomposición JSJ [ editar ]

Artículo principal: descomposición JSJ

La descomposición JSJ y el teorema de hiperbolización de Thurston reducen el estudio de los nudos en las 3 esferas al estudio de varias variedades geométricas mediante operaciones de empalme o satélites . En el nudo ilustrado, la descomposición JSJ divide el complemento en la unión de tres variedades: dos complementos de trébol y el complemento de los anillos borromeos . El complemento de trébol tiene la geometría de H 2 × R , mientras que el complemento de anillos de Borromeo tiene la geometría de H 3 .

Nudos armónicos [ editar ]

Las representaciones paramétricas de nudos se denominan nudos armónicos. Aaron Trautwein compiló representaciones paramétricas para todos los nudos hasta e incluyendo aquellos con un número de cruce de 8 en su tesis doctoral. [11] [12]

Aplicaciones a la teoría de grafos [ editar ]

Una tabla de todos los nudos primos con hasta siete cruces representados como diagramas de nudos con su gráfico medial .

Gráfico medial [ editar ]

Artículo principal: gráfico medial
El gráfico plano firmado asociado con un diagrama de nudos.
Guía izquierda
Guía correcta

Peter Tait introdujo otra representación conveniente de los diagramas de nudos [13] [14] en 1877. [15] [16]

Cualquier diagrama de nudos define un gráfico plano cuyos vértices son los cruces y cuyos bordes son caminos entre cruces sucesivos. Exactamente una cara de este gráfico plano no tiene límites; cada uno de los demás es homeomorfo a un disco bidimensional . Colorea estas caras en blanco o negro para que la cara no delimitada sea negra y las dos caras que compartan un borde del límite tengan colores opuestos. El teorema de la curva de Jordan implica que existe exactamente uno de esos colores.

Construimos un nuevo gráfico plano cuyos vértices son las caras blancas y cuyos bordes corresponden a cruces. Podemos etiquetar cada borde en este gráfico como un borde izquierdo o un borde derecho, dependiendo de qué hilo parece pasar sobre el otro cuando vemos el cruce correspondiente desde uno de los puntos finales del borde. Los bordes izquierdo y derecho se indican típicamente etiquetando los bordes izquierdos + y los bordes derechos -, o dibujando los bordes izquierdos con líneas continuas y los bordes derechos con líneas discontinuas.

El diagrama de nudos original es el gráfico medial de este nuevo gráfico plano, con el tipo de cada cruce determinado por el signo del borde correspondiente. Cambiar el signo de cada borde corresponde a reflejar el nudo en un espejo .

Incrustación sin enlaces y sin nudos [ editar ]

Artículo principal: incrustación sin enlaces
Los siete gráficos de la familia Petersen . No importa cómo estos gráficos estén incrustados en el espacio tridimensional, algunos dos ciclos tendrán un número de enlace distinto de cero .

En dos dimensiones, solo los gráficos planos se pueden incrustar en el plano euclidiano sin cruces, pero en tres dimensiones, cualquier gráfico no dirigido puede incrustarse en el espacio sin cruces. Sin embargo, los gráficos con incrustaciones sin enlaces e incrustaciones sin nudos proporcionan un análogo espacial de los gráficos planos . Una incrustación sin enlaces es una incrustación del gráfico con la propiedad de que dos ciclos cualesquiera están desvinculados ; una incrustación sin nudos es una incrustación del gráfico con la propiedad de que cualquier ciclo individual está desanudado . Los gráficos que tienen incrustaciones sin enlaces tienen una caracterización gráfica prohibida que involucra a la familia Petersen, un conjunto de siete gráficos que están intrínsecamente vinculados: no importa cómo estén incrustados, unos dos ciclos estarán vinculados entre sí. [17] No se conoce una caracterización completa de los gráficos con incrustaciones sin nudos, pero el gráfico completo K 7 es uno de los gráficos mínimos prohibidos para incrustaciones sin nudos: no importa cómo se incrusta K 7 , contendrá un ciclo que forma un trébol nudo . [18]

Generalización [ editar ]

En las matemáticas contemporáneas, el término nudo se utiliza a veces para describir un fenómeno más general relacionado con las incrustaciones. Dado un colector de M con una subvariedad N , uno a veces dice N puede ser anudado en M si existe una incrustación de N en M que no es isotópico a N . Los nudos tradicionales forman el caso donde N = S 1 y M = R 3 o M = S 3 . [19] [20]

El teorema de las moscas de Schoen establece que el círculo no se anuda en la 2-esfera: cada círculo topológico en la 2-esfera es isotópico a un círculo geométrico. [21] El teorema de Alexander establece que la 2-esfera no se anuda suavemente (o PL o domestica topológicamente) en la 3-esfera. [22] En la categoría topológica domesticada, se sabe que la n -esfera no se anuda en la n + 1 -esfera para todo n . Este es un teorema de Morton Brown , Barry Mazur y Marston Morse . [23] La esfera con cuernos de Alejandroes un ejemplo de una 2-esfera anudada en la 3-esfera que no es dócil. [24] En la categoría suave, se sabe que la n -esfera no se anuda en la n + 1 -esfera siempre que n ≠ 3 . El caso n = 3 es un problema pendiente desde hace mucho tiempo, estrechamente relacionado con la pregunta: ¿admite la bola 4 una estructura suave exótica ?

André Haefliger demostró que no hay nudos j- dimensionales suaves en S n siempre que 2 n - 3 j - 3> 0 , y dio más ejemplos de esferas anudadas para todo n > j ≥ 1 tal que 2 n - 3 j - 3 = 0 . n - j se llama codimensión del nudo. Un aspecto interesante del trabajo de Haefliger es que las clases de isotopía de incrustaciones de S j  en S nForme un grupo, con la operación de grupo dada por la suma de conexión, siempre que la co-dimensión sea mayor que dos. Haefliger basa su trabajo en Stephen Smale 's h teorema -cobordism . Uno de los teoremas de Smale es que cuando se trata de nudos en co-dimensión mayor que dos, incluso los nodos no equivalentes tienen complementos difeomórficos. Esto le da al tema un sabor diferente al de la teoría del nudo de la co-dimensión 2. Si se permiten isotopías topológicas o PL, Christopher Zeeman demostró que las esferas no se anudan cuando la co-dimensión es mayor que 2. Ver una generalización a las variedades .

Ver también [ editar ]

  • Teoría del nudo
  • Nudo invariante
  • Lista de enlaces y nudos matemáticos

Notas [ editar ]

  1. ^ Tenga en cuenta que la 3-esfera es equivalente a R 3 con un solo punto agregado en el infinito (ver compactación de un punto ).
  2. ^ Un nudo es dócil si y solo si se puede representar como una cadena poligonal cerrada finita

Referencias [ editar ]

  1. ^ Armstrong (1983) , pág. 213.
  2. ^ Cromwell 2004 , p. 33; Adams 1994 , págs. 246–250
  3. ^ Cromwell (2004) , p. 5.
  4. ^ Adams (1994) , p. 2.
  5. ^ Adams 1994 , tabla 1.1, p. 280; Livingstone 1996 , Apéndice A: Tabla de nudos, p. 221
  6. ↑ a b Armstrong , 1983 , p. 215
  7. ↑ a b Charles Livingston (1993). Teoría del nudo . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 11. ISBN 978-0-88385-027-5.
  8. ^ Kauffman, Louis H. (1990). "Un invariante de isotopía regular" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 318 (2): 417–471. doi : 10.1090 / S0002-9947-1990-0958895-7 .
  9. ^ Elhamdadi, Mohamed ; Hajij, Mustafa ; Istvan, Kyle (2019), Nudos enmarcados , arXiv : 1910.10257.
  10. ^ Adams 1994 , págs. 261-2
  11. ^ Trautwein, Aaron K. (1995). Nudos armónicos (PhD). Disertación Abstracts International. 56-06. Universidad de Iowa. pag. 3234. OCLC 1194821918 . 
  12. ^ Trautwein, Aaron K. (1998). "18. Una introducción a los nudos armónicos" . En Stasiak, Andrzej; Katritch, Vsevolod; Kauffman, Louis H. (eds.). Nudos ideales . World Scientific. págs. 353–363. ISBN 978-981-02-3530-7.
  13. ^ Adams, Colin C. (2004). "§2.4 Gráficos planos y nudos" . El libro del nudo: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 51–55. ISBN 978-0-8218-3678-1.
  14. ^ Tutorial de Entrelacs.net
  15. ^ Tait, Peter G. (1876-1877). "En Nudos I" . Actas de la Royal Society of Edinburgh . 28 : 145-190. doi : 10.1017 / S0080456800090633 . Revisado el 11 de mayo de 1877.
  16. ^ Tait, Peter G. (1876-1877). "Sobre enlaces (resumen)" . Actas de la Royal Society of Edinburgh . 9 (98): 321–332. doi : 10.1017 / S0370164600032363 .
  17. ^ Robertson, Neil ; Seymour, Paul ; Thomas, Robin (1993), "Un estudio de incrustaciones sin enlaces", en Robertson, Neil ; Seymour, Paul (eds.), Teoría de la estructura de grafos: Proc. Conferencia de investigación conjunta de verano AMS-IMS-SIAM sobre menores gráficos (PDF) , Matemáticas contemporáneas, 147 , American Mathematical Society, págs. 125-136 .
  18. ^ Ramirez Alfonsin, JL (1999), "Gráficos espaciales y matroides orientados: el trébol", Geometría discreta y computacional , 22 (1): 149-158, doi : 10.1007 / PL00009446.
  19. ^ Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1998). Superficies anudadas y sus diagramas . Encuestas y Monografías Matemáticas. 55 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0593-2. Señor  1487374 .
  20. ^ Kamada, Seiichi (2017). Nudos de superficie en 4 espacios . Springer Monografías en Matemáticas. Saltador. doi : 10.1007 / 978-981-10-4091-7 . ISBN 978-981-10-4090-0. Señor  3588325 .
  21. ^ Hocking, John G .; Young, Gail S. (1988). Topología (2ª ed.). Publicaciones de Dover. pag. 175. ISBN 0-486-65676-4. Señor  1016814 .
  22. ^ Calegari, Danny (2007). Foliaciones y geometría de 3 variedades . Monografías matemáticas de Oxford. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 161. ISBN 978-0-19-857008-0. Señor  2327361 .
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  • Armstrong, MA (1983) [1979]. Topología básica . Textos de Licenciatura en Matemáticas . Saltador. ISBN 0-387-90839-0.
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  • Livingstone, Charles (1993). Teoría del nudo . Libros de texto de la Asociación Matemática de América. 24 . La Asociación Matemática de América. ISBN 9780883850008.

Enlaces externos [ editar ]

  • " Main_Page ", The Knot Atlas .
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