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Nudo de trébol sin simetría triple con cruces etiquetados.
Una tabla de todos los nudos primos con siete números cruzados o menos (sin incluir imágenes en espejo).

En el área matemática de la teoría de nudos , el número de cruces de un nudo es el número más pequeño de cruces de cualquier diagrama del nudo. Es un nudo invariante .

Ejemplos [ editar ]

A modo de ejemplo, el nudo tiene cruce número cero , el nudo trébol tres y el nudo en forma de ocho cuatro. No hay otros nudos con un número de cruce tan bajo, y solo dos nudos tienen el número de cruce cinco, pero el número de nudos con un número de cruce particular aumenta rápidamente a medida que aumenta el número de cruce.

Tabulación [ editar ]

Las tablas de nudos primos se indexan tradicionalmente por número de cruces, con un subíndice para indicar a qué nudo particular de los que tienen tantos cruces se refiere (este suborden no se basa en nada en particular, excepto que los nudos de toro y luego los nudos de torsión se enumeran primero). La lista va 3 1 (el nudo del trébol), 4 1 (el nudo en forma de ocho), 5 1 , 5 2 , 6 1 , etc. Este orden no ha cambiado significativamente desde que PG Tait publicó una tabulación de nudos en 1877. [ 1]

Aditividad [ editar ]

Nudo cuadrado (cr (6)) = trébol (cr (3)) + reflexión trébol (cr (3)).

Ha habido muy poco progreso en la comprensión del comportamiento del número de cruces bajo operaciones rudimentarias en nudos. Una gran pregunta abierta pregunta si el número de cruce es aditivo cuando se toman sumas de nudos . También se espera que un satélite de un nudo K tenga un número de cruces mayor que K , pero esto no ha sido probado.

Se ha probado la aditividad del número de cruces bajo la suma de nudos para casos especiales, por ejemplo, si los sumandos son nudos alternos [2] (o más generalmente, un nudo adecuado ), o si los sumandos son nudos de toro . [3] [4] Marc Lackenby también ha dado una prueba de que hay una constante N  > 1 tal que , pero su método, que utiliza superficies normales , no puede mejorar N a 1. [5]

Aplicaciones en bioinformática [ editar ]

Existen conexiones entre el número de cruce de un nudo y el comportamiento físico de los nudos de ADN . Para los nudos de ADN primarios, el número de cruces es un buen predictor de la velocidad relativa del nudo de ADN en la electroforesis en gel de agarosa . Básicamente, cuanto mayor sea el número de cruce, más rápida será la velocidad relativa. Para los nudos compuestos , este no parece ser el caso, aunque las condiciones experimentales pueden cambiar drásticamente los resultados. [6]

Invariantes relacionados [ editar ]

Hay conceptos relacionados de número de cruces promedio y número de cruces asintóticos . Ambas cantidades limitaron el número de cruce estándar. Se conjetura que el número de cruces asintóticos es igual al número de cruces.

Otros invariantes de nudos numéricos incluyen el número de puente , el número de enlace , el número de palo y el número de anudado .

Referencias [ editar ]

  1. ^ Tait, PG (1898), "On Knots I, II, III ' ", Artículos científicos , 1 , Cambridge University Press, págs. 273–347.
  2. ^ Adams, Colin C. (2004), The Knot Book: Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos , Providence, RI: American Mathematical Society, p. 69, ISBN 9780821836781, MR  2079925.
  3. ^ Gruber, H. (2003), Estimaciones para el número de cruce mínimo , arXiv : math / 0303273 , Bibcode : 2003math ...... 3273G.
  4. ^ Diao, Yuanan (2004), "La aditividad de los números de cruce", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 13 (7): 857–866, doi : 10.1142 / S0218216504003524 , MR 2101230 .
  5. ^ Lackenby, Marc (2009), "El número de cruce de nudos compuestos" , Journal of Topology , 2 (4): 747–768, arXiv : 0805.4706 , doi : 10.1112 / jtopol / jtp028 , MR 2574742 .
  6. ^ Simon, Jonathan (1996), "Funciones de energía para nudos: comenzar a predecir el comportamiento físico", en Mesirov, Jill P .; Schulten, Klaus; Sumners, De Witt (eds.), Enfoques matemáticos de la estructura y dinámica biomolecular , Los volúmenes IMA en matemáticas y sus aplicaciones, 82 , págs. 39–58, doi : 10.1007 / 978-1-4612-4066-2_4.