Función de Koenig

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En matemáticas , la función de Koenigs es una función que surge en análisis complejos y sistemas dinámicos . Introducido en 1884 por el matemático francés Gabriel Koenigs , da una representación canónica como dilataciones de un mapeo holomorfo univalente , o un semigrupo de mapeos, del disco unitario en los números complejos en sí mismo.

Sea D el disco unitario en los números complejos. Sea f una función holomorfa que mapea D en sí misma, fijando el punto 0, con f no idénticamente 0 y f no un automorfismo de D , es decir, una transformación de Möbius definida por una matriz en SU(1,1).

Por el teorema de Denjoy-Wolff , f deja invariante cada disco | z | < r y las iteraciones de f convergen uniformemente en compacta a 0: de hecho, para 0 < r < 1,

Koenigs (1884) demostró que existe una única función holomorfa h definida en D , llamada función de Koenigs , tal que h (0) = 0, h '(0) = 1 y se satisface la ecuación de Schröder ,

La función h es el límite uniforme en compacta de las iteraciones normalizadas , .${\displaystyle g_{n}(z)=\lambda^{-n}f^{n}(z)}$

Como consecuencia, cuando f (y por lo tanto h ) son univalentes, D puede identificarse con el dominio abierto U = h ( D ) . Bajo esta identificación conforme, el mapeo   f se convierte en una multiplicación por λ , una dilatación en U.

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