La ecuación de Schröder , [1] [2] [3] nombrada en honor a Ernst Schröder , es una ecuación funcional con una variable independiente : dada la función h , encuentre la función Ψ tal que
La ecuación de Schröder es una ecuación de valor propio para el operador de composición C h , que envía una función f a f ( h (.)) .
Si a es un punto fijo de h , lo que significa que h ( a ) = a , entonces Ψ ( a ) = 0 (o ∞ ) o s = 1 . Por tanto, siempre que Ψ ( a ) sea finito y Ψ ′ ( a ) no se desvanezca ni diverja, el valor propio s viene dado por s = h ′ ( a ) .
Importancia funcional
Para a = 0 , si h es analítico en el disco unitario, fija 0 y 0 <| h ′ (0) | <1 , entonces Gabriel Koenigs demostró en 1884 que existe una Ψ analítica (no trivial) que satisface la ecuación de Schröder. Este es uno de los primeros pasos en una larga lista de teoremas fructíferos para comprender los operadores de composición en espacios de funciones analíticas, cf. Función de Koenigs .
Las ecuaciones como la de Schröder son adecuadas para codificar la auto-semejanza y, por lo tanto, se han utilizado ampliamente en estudios de dinámica no lineal (a menudo denominada coloquialmente teoría del caos ). También se utiliza en estudios de turbulencia , así como en el grupo de renormalización . [4] [5]
Una forma de transposición equivalente de la ecuación de Schröder para la inversa Φ = Ψ −1 de la función de conjugación de Schröder es h (Φ ( y )) = Φ ( sy ) . El cambio de variables α ( x ) = log (Ψ ( x )) / log ( s ) (la función de Abel ) convierte aún más la ecuación de Schröder en la ecuación de Abel más antigua , α ( h ( x )) = α ( x ) + 1 . De manera similar, el cambio de variables Ψ ( x ) = log (φ ( x )) convierte la ecuación de Schröder en la ecuación de Böttcher , φ ( h ( x )) = (φ ( x )) s .
Además, para la velocidad, [5] β ( x ) = Ψ / Ψ ′ , se cumple la ecuación de Julia , β ( f ( x )) = f ′ ( x ) β ( x ) .
La n -ésima potencia de una solución de la ecuación de Schröder proporciona una solución de la ecuación de Schröder con valor propio s n , en cambio. Del mismo modo, para una solución invertible Ψ ( x ) de la ecuación de Schröder, la función (no invertible) Ψ ( x ) k (log Ψ ( x )) también es una solución, para cualquier función periódica k ( x ) con registro ( s ) de período . Todas las soluciones de la ecuación de Schröder están relacionadas de esta manera.
Soluciones
La ecuación de Schröder se resolvió analíticamente si a es un punto fijo atrayente (pero no superatractor), es decir 0 <| h ′ ( a ) | <1 de Gabriel Koenigs (1884). [6] [7]
En el caso de un punto fijo superatractor, | h ′ ( a ) | = 0 , la ecuación de Schröder es difícil de manejar y es mejor transformarla a la ecuación de Böttcher . [8]
Hay un buen número de soluciones particulares que se remontan al artículo original de 1870 de Schröder. [1]
La expansión de la serie alrededor de un punto fijo y las propiedades de convergencia relevantes de la solución para la órbita resultante y sus propiedades de analiticidad son resumidas de manera convincente por Szekeres . [9] Varias de las soluciones se proporcionan en términos de series asintóticas , cf. Matriz de Carleman .
Aplicaciones
Se utiliza para analizar sistemas dinámicos discretos al encontrar un nuevo sistema de coordenadas en el que el sistema (órbita) generado por h ( x ) parece más simple, una mera dilatación.
Más específicamente, un sistema para el cual un paso de tiempo unitario discreto asciende ax → h ( x ) , puede tener su órbita suave (o flujo ) reconstruida a partir de la solución de la ecuación de Schröder anterior, su ecuación de conjugación .
Es decir, h ( x ) = Ψ −1 ( s Ψ ( x )) ≡ h 1 ( x ) .
En general, todas sus iteraciones funcionales (su grupo de iteración regular , ver función iterada ) son proporcionadas por la órbita
para t real - no necesariamente positivo o entero. (Por lo tanto, un grupo continuo completo .) El conjunto de h n ( x ) , es decir, de todas las iteraciones enteras positivas de h ( x ) ( semigrupo ) se denomina astilla (o secuencia de Picard) de h ( x ) .
Sin embargo, todas las iteraciones (fraccionarias, infinitesimales o negativas) de h ( x ) también se especifican mediante la transformación de coordenadas Ψ ( x ) determinada para resolver la ecuación de Schröder: una interpolación continua holográfica de la recursión discreta inicial x → h ( x ) tiene sido construido; [10] en efecto, toda la órbita .
Por ejemplo, la raíz cuadrada funcional es h 1/2 ( x ) = Ψ −1 ( s 1/2 Ψ ( x )) , de modo que h 1/2 ( h 1/2 ( x )) = h ( x ) , y así.
Por ejemplo, [11] casos especiales del mapa logístico como el caso caótico h ( x ) = 4 x (1 - x ) ya fueron resueltos por Schröder en su artículo original [1] (p. 306),
- Ψ ( x ) = (arcsin √ x ) 2 , s = 4 , y por lo tanto h t ( x ) = sin 2 (2 t arcsin √ x ) .
De hecho, se considera que esta solución resulta como un movimiento dictado por una secuencia de potenciales de retroceso, [12] V ( x ) ∝ x ( x - 1) ( nπ + arcsin √ x ) 2 , una característica genérica de iteraciones continuas efectuada por Ecuación de Schröder.
Un caso no caótico que también ilustró con su método, h ( x ) = 2 x (1 - x ) , produce
- Ψ ( x ) = -1/2ln (1-2 x ) , y por tanto h t ( x ) = - 1/2((1-2 x ) 2 t - 1) .
Del mismo modo, para el modelo de Beverton-Holt , h ( x ) = x / (2 - x ) , se encuentra fácilmente [10] Ψ ( x ) = x / (1 - x ) , de modo que [13]
Ver también
- Ecuación de Böttcher
Referencias
- ↑ a b c Schröder, Ernst (1870). "Ueber iterirte Functionen". Matemáticas. Ann . 3 (2): 296–322. doi : 10.1007 / BF01443992 .
- ^ Carleson, Lennart ; Gamelin, Theodore W. (1993). Dinámica compleja . Serie de libros de texto: Universitext: Tracts in Mathematics. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97942-5.
- ^ Kuczma, Marek (1968). Ecuaciones funcionales en una sola variable . Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN - Editores científicos polacos. ASIN: B0006BTAC2
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- ^ Curtright, T. L. Evolución de superficies y métodos funcionales de Schröder .
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- ^ Skellam, J. G. (1951). “Dispersiónaleatoria en poblaciones teóricas”, Biometrika 38 196-218, eq. 41, 42.