Sistema dinámico que conserva la medida
En matemáticas , un sistema dinámico que conserva la medida es un objeto de estudio en la formulación abstracta de sistemas dinámicos y, en particular, de la teoría ergódica . Los sistemas que conservan la medida obedecen al teorema de recurrencia de Poincaré y son un caso especial de los sistemas conservativos . Proporcionan la base matemática formal para una amplia gama de sistemas físicos y, en particular, muchos sistemas de la mecánica clásica (en particular, la mayoría de los sistemas no disipativos ), así como sistemas en equilibrio termodinámico .
Un sistema dinámico que conserva la medida se define como un espacio de probabilidad y una transformación que conserva la medida en él. Más detalladamente, es un sistema
Uno puede preguntarse por qué la transformación que preserva la medida se define en términos de la transformación inversa en lugar de la transformación directa . Esto se puede entender de una manera bastante fácil. Considere un mapeo de conjuntos de potencia :
Consideremos ahora el caso especial de mapas que conservan intersecciones, uniones y complementos (por lo que es un mapa de conjuntos de Borel ) y también envía a (porque queremos que sea conservativo ). Cada uno de estos mapas conservadores que conservan Borel se puede especificar mediante algún mapa sobreyectivo escribiendo . Por supuesto, también se podría definir , pero esto no es suficiente para especificar todos los mapas posibles . Es decir, los mapas conservadores que conservan Borel no pueden, en general, escribirse en la forma que se podría considerar, por ejemplo, el mapa del intervalo unitario dado por esto es el mapa de Bernoulli .
