La ecuación hacia atrás de Kolmogorov (KBE) (difusión) y su adjunto a veces conocido como la ecuación hacia adelante de Kolmogorov (difusión) son ecuaciones diferenciales parciales (PDE) que surgen en la teoría de procesos de Markov de estado continuo en tiempo continuo . Ambos fueron publicados por Andrey Kolmogorov en 1931. [1] Más tarde se supo que la ecuación directa ya era conocida por los físicos bajo el nombre de ecuación de Fokker-Planck ; el KBE, por otro lado, era nuevo.
De manera informal, la ecuación directa de Kolmogorov aborda el siguiente problema. Tenemos información sobre el estado x del sistema en el tiempo t (es decir, una distribución de probabilidad ); queremos saber la distribución de probabilidad del estado en un momento posterior. El adjetivo 'adelante' se refiere al hecho de que sirve como la condición inicial y el PDE se integra hacia adelante en el tiempo (en el caso común donde el estado inicial se conoce exactamente, es una función delta de Dirac centrada en el estado inicial conocido).
La ecuación hacia atrás de Kolmogorov, por otro lado, es útil cuando estamos interesados en el tiempo t en si en un tiempo futuro s el sistema estará en un subconjunto dado de estados B , a veces llamado el conjunto objetivo . El objetivo se describe mediante una función determinadaque es igual a 1 si el estado x está en el objetivo establecido en el tiempo s , y cero en caso contrario. En otras palabras,, La función de indicador para el conjunto B . Queremos saber para cada estado x a la vezcuál es la probabilidad de terminar en el objetivo establecido en el tiempo s (a veces llamado probabilidad de acierto). En este casosirve como la condición final de la PDE, que está integrado hacia atrás en el tiempo, a partir de s a t .
Formulación de la ecuación inversa de Kolmogorov
Suponga que el estado del sistema evoluciona según la ecuación diferencial estocástica
entonces la ecuación hacia atrás de Kolmogorov es [2]
por , sujeto a la condición final . Esto se puede derivar usando el lema de Itō en y estableciendo el término igual a cero.
Esta ecuación también se puede derivar de la fórmula de Feynman-Kac observando que la probabilidad de acierto es el mismo que el valor esperado de sobre todos los caminos que se originan en el estado en el momento :
Históricamente, el KBE [1] se desarrolló antes que la fórmula de Feynman-Kac (1949).
Formulación de la ecuación directa de Kolmogorov
Con la misma notación que antes, la correspondiente ecuación hacia adelante de Kolmogorov es
por , con condición inicial . Para obtener más información sobre esta ecuación, consulte la ecuación de Fokker-Planck .
Ver también
Referencias
- Etheridge, A. (2002). Un curso de cálculo financiero . Prensa de la Universidad de Cambridge.